Soucis sur une suite

[mat304]

Bonjour je bloque voila de sa plusieurs heure sur une suite .
En fait nous devons étudier la convergence de la suite , on sait deja que la limite va tendre vers 16 ( études menées précédemment ) on nous demande de le démontrer et la ca coince , voila ou j'en suis :
on a dans l'ennoncé

je doit étudier la relation entre la suite et sa limite selon ceci on a donc :




=

voila ou j'en suis j'ai utilisé la quantité conjuguée ci dessus et je reste bloqué a cette ligne en effet le proffesseur nous a donné des indications et on doit trouver un résultat de la forme avec devant les parentheses un coéficient qui dépendrai de Un et qui serai majorée par 3/4
le probleme c'est comment sortir le dénominateur a mn stade et surtout d'ou sort il le Un en relation avec le coéficient ???

Apres cela( et quelques arrangement) je pourrai utiliser le théorème des gendarme afin de conclure que cette suite est bien convergente vers 16 .

Merci de vos réponses je n'en peux plus de cette suite !

[Laurent Porre]

tu as fait une erreur entre ces 2 lignes... ensuite ça va tout seul

=

[Ericovitchi]

erreur de frappe

[mat304]

ha en effet je crois l'avoir trouvée cela donne :

=

=

=

Je vois bien apparaitre le coefficient 3/4 qui semble etre le majorant en relation avec Un comme l'indiquait le proffesseur mais comment arrive t-il a se débarasser du dénominateur je ne vois toujours pas désolé ... et aussi comment peut on affirmer que se 3/4 est bien majorant ?

[mat304]

oui en effet sur mon brouillon j'avai aussi mis la bonne écriture qui ne m'empeche toujours pas de bloquer maleuresement ...

Une petite aide sil vous plais ? j'y suis presque :triste:

[Laurent Porre]

oui en effet sur mon brouillon j'avai aussi mis la bonne écriture qui ne m'empeche toujours pas de bloquer maleuresement ...

Une petite aide sil vous plais ? j'y suis presque :triste:

en fait je ne comprend pas ton histoire de majorant avec 3/4. Tu nous dit que tu as déjà montré que la limite est 16... Donc 3/4 ne sera pas majorant.
As-tu déjà montré précédemment que la suite était croissante ?

[mat304]

oui en fait , on a montré avant que la suite etait croissante et majorée par 16 mais de facon "experimental" grace a l'etude de la courbe en faisant l'escalier ect ... donc on suppose que elle admet une limite qui est 16 mais ici on nous demande de le démontrer . 3/4 ( 16 -Un ) en fait le prof nous a dit que le coefficient doit etre inferieur ou égale a 3/4 voila pourquoi je dit majorant etant donné que ca doit etre la valeur maximal mais il demande aussi de montrer que se coefficient est a majoré par 3/4 . Je ne sais pas si c'est plus clair ^^"

[Laurent Porre]

ok, déjà pour démontrer que 16 est une limite, il faudrait surement utiliser un théorème qui parle de point fixe (tu as du voir ça en cours).
Si ta suite est de type un+1=f(un) converge c'est forcément vers un point fixe.
ensuite tu montras qu'elle est majorée par ce point fixe 16 avec ton équation.

[mat304]

en fait ta méthode est surment bonne mais lui veut nous faire démontrer que cette suite converge et a pour limite 16 et donc a la fin on doit obtenir

0<16-Un* < x constante

Si jarrivai jusque la , je pourai utiliser le théoreme des gendarmes et dire que a droite tend vers 0 , jutilise le théoreme donc 16-Un tend aussi vers 0 et comme il n'y a qune valeur qui donne 0 : 16-16 = 0 c'est bien 16 la limite ...Seulement je suis la avec mn équation et impossible d'arriver a quelque chose qui ressemble au truc ci dessu :triste:

[Laurent Porre]

pour le je vois pas comment pour l'instant
tu peux essayer de dire que ta suite est positive, donc 4+>4 donc <1/4

[mat304]

haha je crois avoir une piste ! mais j'en suis pas sur . Grace a ce que tu ma dit on aurait [TEX]1/4+sqrt{Un} 16-Un+1 donc:

16-Un+1 < 3/4( 16-Un)

non ? xD
ha peut etre pas car si je met (16 - Un ) en facteur je doit le metre aussi au dénominateur dans la partie de gauche et pas qau numerateur :triste:

[Laurent Porre]

j'arrivais au même truc
tu peux dire maintenant 16-Un+1 < 3/4( 16-Un) <(3/4)².(16-Un-1) ... etc
jusuq'à Uo :we:

[mat304]

le probleme c'est que le prof attend de nous qu'on trouve quelquechose de la forme x constante

or la ce qu'on trouve ne ressemble pas beaucoup et en plus on l'a trouvé a partir du dénominateur , je crois qu'il aurai voulu trouver la chose ci dessu avec l'expression entiere , cette suite devient un casse tete :marteau:

[Laurent Porre]

[quote="mat304"]le probleme c'est que le prof attend de nous qu'on trouve quelquechose de la forme [TEX]0=0, soit -Uo<=0 (faisons même avec U1)
donc 16-U1 <= 16
16-Un+1<3/4(16-Un)<(3/4)².(16-Un-1)< ... <(3/4)^n.(16-U1)<(3/4)^n.16
c'est bon à mon avis
pas d'autre moyen de faire je pense

[Laurent Porre]

résumons, tu as donc
< < < ... <<

puis théorème des gendarmes comme tu le proposais justement

pas facile facile l'exo tout de même...