Transformée de fourier discrète et rapide

[monrow]

Bonjour,

En fait, je sais bien ce qu'est la transformée de fourier d'une fonction, mais la DFT et la FFT quant à eux me posent un énorme problème.

Voilà je vous expose mon problème:

1- En fait on a pris un signal (vocal) et on l'a échantillonné à une fréquence , il est représenté alors par où M est le nombre d'échantillons.

2- La voix peut en effet être vue comme quasi-stationnaire sur un petit intervalle de l'ordre de 30ms. Pour cela on effectue ce qu'on appelle le fenêtrage: On découpe le signal en frames (de longueurs de l'ordre de 30ms) qui ont la particularité de se recouvrir par moitié. (On a choisi parce que ça convient avec la FFT, donc si je comprend bien la FFT, c'est un programme pour la DFT, mais pourquoi FFT est plus rapide pour ?! Là je ne capte pas du tout )

On va ainsi définir un ensemble de I familles où N est le nombre d'échantillons dans la frame i et où I est le nombre de frames.

3- On applique une fonction de fenêtrage pour éviter les discontinuités aux bornes des frames, par exemple Hamming. Le signal est dès présent représenté par où sont les coefficients de pondération de Hamming.

4- Voilà ici le deuxième problème :

Ils ont écrit:

L'étape suivante consiste à prendre la transformée de Fourier de chaque frame fenêtrée. Pour cela, on utilise une implémentation informatique de cette transformée: la transformée de Fourier Discrète (DFT). On convertit ainsi chaque signal temporel en fréquentiel . La DFT sur la ième frame est donnée par:

Oula, je comprends plus rien ici ! Déjà on a dit que la DFT c'est pas une implémentation informatique, et c'est la FFT qui en est une. (Bon jusqu'à maintenant , je ne comprends pas alors ce qu'est la DFT)

Merci d'avance.

[kazeriahm]

Salut

la DFT existe bien en tant que tel, c'est juste la transformée de Fourier discrète c'est à dire qu'on transforme la belle intégrale qui donne la transformée de Fourier en une "somme de Riemann" (on tronque l'intégrale de 0 à l'infini en une intégrale de 0 à T et on approxime cette intégrale par une somme de Riemann)

Numériquement, cette formule est assez lourde à calculer, c'est un O(n^2).

La FFT est un algorithme de calcul de la DFT, c'est à dire une méthode plus subtile que la méthode bourrine qui consiste à calculer directement la somme ci-dessus. Wikipédia explique plutôt bien le tout, mais l'idée c'est "diviser pour régner".

C'est un peu plus clair ?

[kazeriahm]

Est-ce que tu as compris l'intêret de la fonction de Hamming ?

[monrow]

Bonjour et merci pour ces précisions ...

C'est un petit peu plus clair

Sinon, pour Hamming, je sais que c'est pour éviter des discontinuités aux bornes de frames. Mais c'est vrai que la méthode n'est pas très claire dans son fond pour moi :(

Je serai vraiment heureux si tu m'éclaires un peu plus

Cordialement

[kazeriahm]

Vas sur cette page http://www.loria.fr/%7Esur/enseignement/signal/ (c'est un cours que j'ai suivi), les transparents 1 (FFT) et 6 (transformee de fourier a fenetre, Hamming) devraient t'interesser