Système d'équations différentielles

[lost-_-]

Salut,
J'ai vraiment besoin de votre aide.Je n'arrive pas à résoudre cet exercice! J'ai révisé le cours mais je n'ai pas vraiment saisi la notion et les applications du théorème de CAUCHY, si vous pouvez m'aider à le résoudre je serai très reconnaissante.

Voici l'ennoncé:

Soit le système differentiel homogéne définie sur un intervalle I par : Y'(x)=A(x)Y(x). (SH)

où Y(x)=(y1(x),...,yn(x)) et A(x)=(aij(x))1<=i,j<=n (fonctions continues)
On désigne par (CH) l'ensemble des solutions de (SH).
1) Montrer que CH est un espace vectoriel de dimension n. (Penser à un isomorphisme entre CH et Rn).

2)Rappeler la définition d'un système fondamental de solutions de (SH).
3)Montrer que {Y1,...,Yn} est un système fondamental si et seulement s'il existe x0 appartient à I tel que {Y1(x0),..;,Yn(x0)} forme une base de Rn.
4)On considère le système différentiel défini par:

(S) y'1=y2
y'2=y1

4-1) Ecrire (S) sous forme matricielle.
4-2) Etablir pour (S) un système fondamental.






Question 1: Normalement, pour prouver que CH est un éspace vectoriel de dimension n, on doit trouver une base constituée de n vecteurs , mais quelle base ??? Et Comme il est indiqué,on doit penser en isomorphisme donc une application linéraire bijective, à votre avis quelle est l'application qu'on doit poser , je suis vraiment perdue!!


Merci d'avance

[Maxmau]

Bj

A une solution Y fait correspondre sa valeur Y(x0) au point x0
D’après Cauchy Lipschitz c’est un isomorphisme