Probleme

[pusep]

BOnjour, on considere E une partie du plan non finie.
Pour tous points P et Q de E, on a PQ dans ;), il s'agit de montrer que les points de E sont alignés.

Avez vous des idées de démonstration?

[jeje_42]

Salut,

Comment définis-tu "PQ", comme ces points ont deux coordonnées ? Est-ce le produit tel que :
si on a P(a,b) et Q(c,d), on aura PQ (a*c, b*d) ?
Ou est-ce une autre écriture ?

Jé

[pusep]

PQ est la distance du point P au point Q

[jeje_42]

:!: C'est juste une idée à exploiter, la démo est incomplète : :!:

Si la distance entre les 2 points est un entier naturel, qu'est-ce que cela signifie ?
Cela veut dire que :

c = sqrt[ (x2 - x1)*(x2 - x1) + (y2 - y1)*(y2 - y1) ] est un entier naturel

avec P(x1; y1) et Q(x2; y2), sqrt représentant la racine carré.

Si on éléve l'équation au carré, on observe que :
en posant a = (x2 - x1) et b = (y2 - y1),

a*a + b*b = c*c,

ce qui signifie que "a*a + b*b" est un carré.
Ceci n'est pas possible en général, mis à part si :
(a =0 et b=c) ou (a=c et b=0).

=> Ces points ont meme abcisse ou meme ordonnée...

Comme tu as une infinité de points dans E, tu peux effectuer ce calcul pour tout couple de points de E pris deux à deux, et tu obtiendras que :

- soit tous les points ont meme abcisse : ils sont donc alignés
- soit tous les points ont meme ordonnée : ils sont donc alignés

Voici ma modeste proposition :we:

A +

Jé

[Doraki]

a*a + b*b = c*c,

ce qui signifie que "a*a + b*b" est un carré.
Ceci n'est pas possible en général, mis à part si :
(a =0 et b=c) ou (a=c et b=0).

D'abord, 3²+4²=5², et 3 et 4 sont non nuls et différents de 5.

Ensuite, il n'est dit nulle part que a et b sont des entiers, il y a juste c qui doit être entier.
Par exemple, a = b = 1/sqrt(2) et c=1 conviennent.

[jeje_42]

Exact... Je me suis planté :cry:
Le démo est à revoir.

Jé

[pusep]

Ça peut toujours donner des idées, merci je vais tenter de l'exploiter qqun a une autre idée?

[ThSQ]

Problème superbe et classique (résolu par Erdos (qui d'autre ?)).

Une solution est de montrer que les points à distances entières de deux points sont sur un nombre fini d'hyperboles (ou de droites). Comme deux hyperboles se coupent en au plus deux points ...


[mode Léon]
- peut-on trouver dans le plan des ensembles finis aussi grands que l'on veut de points non tous alignés avec cette propriété ?
- généraliser à R^n (n > 1
- et dans un evn de dimension infinie ? (donner des cas où c'est vrai et où c'est faux)
[/mode Léon]

[pusep]

peux tu un peu plus me guider pour cette démo?

[Doraki]

Prends 2 points A et B tels que la distance AB soit un entier n (non nul).

Regarde les ensembles de points Ek = {M / AM - BM = k} pour k dans Z.
Combien sont non vides ? A quoi ressemblent-ils ?

[pusep]

euh je ne vois pas très bien :hum: