Dérivations

[martha]

Bonjour a tous,

Voici les quelques exercices que j'ai fais, pouvez vous m'aider s'il vous plaît?

EXERCICE: On considére les deux paraboles P et P' d'équations y=-x²+7/2x-1/2 et y=2x²-5/2x+5/2

1-Montrer que ces deux paraboles admettent une tangente commune en leur unique point d'intersection.

MA REPONSE: Je ne sais pas comment le démontrer mais je pense que x=1 et y=2

2-Déterminer l'équation de cette tangente.

MA REPONSE: L'équation de la tangente T est y=mx+p. Or on sait (graphiquement) que m=f'(1)=2
y=2x+P. Or T passe par (1;2) donc 2=2x1+b
b=0
Donc y=2x+0.

EXERCICE: On considère la fonction f définie sur R par f(x)=Vx²+3 (V=racine carré de...). Démontrer que f est dérivable en 1 et calculer son nombre dérivé en 1.

f(x)=Vx²+3=u(x).v(x)=Vx.x
avec u(x) dérivable pour tout x E ]0;+l'inf[ et u'(x)=1/2Vx
et v(x) dérivable sur R et v'(x)=2x

f'(x)=u'(x).v(x)+u(x).v'(x)
=1/2Vx.x+Vx.2x
=x/2Vx.Vx/Vx+Vx.2x
=xVx/2(Vx)²+2xVx
=xVx/2x+2xVx
=Vx/2+2xVx
Je pense ne pas avoir réussi cette exercice!

EXERCICE: On considére le fonction f(x)=1/x² définie sur R*

1-Calculer f'(2).

MA REPONSE:On sait que f'(a)=2a
Donc f'(2)=4

2-Donner l'approximation affine de f au voisinage de 2.

MA REPONSE: L'équation de la tangente T est y=mx+p. Or on sait que m=f'(2)=4. Donc y=4x+b
b=-4
Donc y=4x-4.
On pose E=f(a+h)-f(a)-f'(a)/h
On sait que lim f(a+h)-f(a)/h=f'(a)
Donc limE(h)=0
hE(h)=f(a+h)-f(a)-hf'(a)
Donc f(a+h)=f(a)+hf'(a)+hE(h). Or on cherche l'approximation affinede f au voisinage de 2
Donc f(2+h)=1/f(2)+1/hf'(2)+1/hE(h)
=1/4+1/4.h

(Je ne pense pas que ce résultat soit juste).

3-En déduire sans calculatrice une valeur approchée de 1/1,99²

1/1,99²=1/2²-2.0,1=1/4-0,2=1/3,8=O,26

Voilà, pouvez vous m'aidez s'il vous plaît?

Merci par avance!

[Elsa_toup]

Procédons par étapes: détermine déjà le point d'intersection de P et P'.

[fred]

Comme point d'intersection tu trouve effectivement x=1 et y=2
Pour le démontrer il faut trouver x tel que si est l'équation de la première parabole et l'équation de la deuxième parabole

Mais c'est la dérivée en ce point qui te donnera la pente de la tangente en ce point.La valeur 1/2 trouvée graphiquement n'est pas bonne

[martha]

Donc y1=y2
=x²-12/2x+6/2

mais ensuite je ne comprends pas ce qu'il faut faire.
Sinon mes autres exercices sont-ils bons?

[Elsa_toup]

Non: y1 = y2 <=> -x²+(7/2)x-1/2 = 2x²-(5/2)x+5/2

[johnjohnjohn]

Donc y1=y2
=x²-12/2x+6/2

mais ensuite je ne comprends pas ce qu'il faut faire.
Sinon mes autres exercices sont-ils bons?

Tu as du faire une erreur de calcul, on reprend

y1=y2

donc

-x²+7/2x-1/2=2x²-5/2x+5/2 .... allez courage !

[fred]

Donc y1=y2
=x²-12/2x+6/2

mais ensuite je ne comprends pas ce qu'il faut faire.
Sinon mes autres exercices sont-ils bons?

Tu dois résoudre
Tu tombes sur une équation du 2ème degrés à résoudre

[martha]

-x²+7/2-1/2=2x²-5/2x+5/2
-x²-2x²+7/2x+5/2x-1/2-5/2
3x²-12/2x+6/2

[Elsa_toup]

Oui, enfin tu peux l'écrire un peu mieux, en simplifiant par exemple...
Ensuite, que trouves-tu comme solution(s) ?

indice : IDENTITE REMARQUABLE !!!! (c'est suffisamment subtil, non ? :euh: )

[sali59]

on considére la fonction f(x)= 1/x² définie sur R/{0}

1) calculer f'(2)
2)donner lapprocimation affine de la fonction f au voisinnage de 2
3) en déduire,sans calculatrice, une valeur approchée de 1/1.99² et 1/2.007²