Equation différentielle 2ème ordre

[bfme]

Bonjour à tous, j'ai un peitit soucis pour mon exo de maths, merci de m'aider!

Voici l'énoncé :

Soit l'ed (E) : y"(x²+1) - 2y = 0, dont on cherche les sol sur R à valeur dans R.

1 Montrer q'une solution polynomiale de (E) autre que la fonction nulle est forcèment de degré 2. Déterminer une telle solution polynomiale y0.

Je pense que la réponse est assez évidente puisque l'on a une ed de degré 2, donc l'équation résolvante est de degré 2 et je trouve une sol d ela forme :
ae^(2/racine(x²+1)*t) + be^(-2/racine(x²+1)*t)

2 Montrer que tte fonction 2 fois dérivable sur R peut s'écrire sous la forme y = y0*z où z est une fonction 2 fois dérivable sur R.

Là je suis bloqué, déjà la question que je me pose : une fonction 2 fois dérivable est-elle de la forme ax² + bx + c?

3 En posant y = y0 * z, montrer que y est sol de (E) ssi la fonction Z = z' est sol de l'ed (E') que l'on écrira.

N'ayant pas rep à la question précédente, je peux juste écrire (E)' : 2x*y" + (x²+1)*y"' - 2 = 0


Voilà j'attends vos suggestions, merci d'avance!

[Sa Majesté]

Bonjour,

1 Montrer q'une solution polynomiale de (E) autre que la fonction nulle est forcèment de degré 2. Déterminer une telle solution polynomiale y0.

Je pense que la réponse est assez évidente puisque l'on a une ed de degré 2, donc l'équation résolvante est de degré 2

Cela ne me semble pas très convaincant
A ta place je partirais d'un polynome quelconque : somme k=0 à n ak x^k et je montrerais que nécessairement n=2 (ça se fait bien)

et je trouve une sol d ela forme :
ae^(2/racine(x²+1)*t) + be^(-2/racine(x²+1)*t)

Euh ... on te demande une solution polynomiale non ?

2 Montrer que tte fonction 2 fois dérivable sur R peut s'écrire sous la forme y = y0*z où z est une fonction 2 fois dérivable sur R.

Là je suis bloqué, déjà la question que je me pose : une fonction 2 fois dérivable est-elle de la forme ax² + bx + c?

Pas nécessairement
Une fois que tu auras résolu le 1) tu verras

[fourize]

bonsoir !

on appele polynome de degrés deux tout fonction qui s'ecrit
avec a non nul ,ceci dit:

ce que t'as trouver n'est pas un polynome

pour ta question qui pose probleme; utilise la methode
de la variation de la constante et tout ira tout seul

bon courage !

[bfme]

Je ne vois pas comment arriver à montrer que c'est nécessairement n = 2! J'ai remplacé y par une expression de la forme : a_nx^n + ... + a_1x + a0 mais je ne vois pas comment procéder par la suite!

[Sa Majesté]

Ben tu calcules y"(x²+1) - 2y
C'est un polynome, tu regardes le coef du terme de plus grand exposant (n), qui doit être nul

[bfme]

Oui j'ai calculé ça, j'arrive à une expréssion plutôt longue :
-2a_n*x^n - 2a_(n-1)*x^(n-1) + x^(n-2) * (a_n*n*(n-1)*(x²+1) -2a_(n-2) + ... + (x²+1)a_2 - 2*a_0 = 0
Le coeff du terme de plus grand nombre n est (-2a_n) et ce n'est pas un polynôme de degré 2!

[Sa Majesté]

Tu t'es trompé,
-2a_n est le coeff de x^n de -2y

Mais
y" est un polynome de degré (n-2)
y"(x²+1) est un polynome de degré n

[bfme]

Oui je vois pourquoi je comprenais pas, j'ai oublié n(n-1)a_n, on arrive alors à un trinome de 2nd degré dont les racines sont 2 et -1, comme n est dans N, n=2, je vais essayer de me débrouiller à partir de ça, merci de votre aide!

[Sa Majesté]

C'est exactement ça ! :++:
Pour être précis c'est "comme n est dans IN et que an est différent de 0"

[bfme]

Ok je vois, merci!