Exo 1ère S

[Sunrise]

Bonjour , J'ai un peu de mal avec cet exercice , est-ce que vous pourriez m'aider ?

Soit ABC un triangle . On pose a= BC ; b= AC et c = AB .On appelle G le barycentre de ( (A;a) ; (B;b) ; (C;c) )
Le but de l'exercice est de prouver que G est le centre du cercle inscrit au triangle ABC .

1)On considère le point D tel que vecteur BD = (1 + b/c) vecteur BA . Montrez que le triangle ACD est isocèle de sommet A .

2) On appelle I le milieu de [CD] et K l'intersection de la bissectrice de l'angle A du triangle ABC avec la droite (BC) . Montrez que (AK) est perpendiculaire à (AI) et déduisez-en que (AK) est parallèle à (CD).

3) a) En utilisant le théorème de thalès vectoriel , montrez que vecteur BC=(1+b/c) vecteur BK

b) Déduisez-en que K est le barycentre de ( (B;b) ; (C;c) )

4)On appelle respectivement L et M les intersections des bissectrices des angles B et C du triangle ABC avec les droites (AC) et (AB) . En utilisant une méthode similaire à celle qui précéde, on démontre (on ne demande pas de refaire la démonstration) que L est le barycentre de ( (A;a) ; (C;c) ) et M le barycentre de ( (A;a) ; ( B;b) )
Montrez que G est commun aux trois droites (AK) (BL) et (CM) . Et tirez-en la conclusion recherchée .

Merci d'avance

[Sunrise]

S'il vous plait ^^'