[TS] Récurrence

[Nivek]

Bonsoir à tous,

Je viens de changer d'établissement et malheureusement je suis l'un des seuls de ma classe à ne pas avoir étudié la récurrence. C'est pourquoi je n'arrive pas à résoudre la question suivante : Montrer par récurrence que : 2^n>n.

Pourriez-vous m'éclairer ?

Merci

Cordialement

[Euler911]

Bonjour,

Où en es-tu précisément, as-tu déjà fait quelque chose? As-tu vu quelque chose en cours à ce sujet?

[Nivek]

Bonsoir Euler911,

Non je n'ai encore rien vu à ce sujet. Mon nouveau professeur nous a donné ceci à titre de rappel mais n'ayant eu aucun cours portant sur cela je ne parviens à rien faire.

Pourriez-vous m'expliquer comment faire ?

Merci

Cordialement

[Euler911]

Voici en gros en quoi consiste le principe de récurrence:

Tu as une certaine propriété P(n) à démontrer.

1re étape: vérifier si P(1) est vraie
2e étape (hérédité): on suppose que P(n) est vraie
3e étape: on en déduit que P(n+1) est vraie.

Je te prépare un exemple pour que ce soit plus clair! rdv dans 10 min/;)

[Huppasacee]

Bonsoir

Pour démontrer par récurrence, il faut d'abord s'assurer que l'inégalité est vraie pour n = 0 ( ou n = 1 suivant les cas )

C'est l'étape de "l'initialisation "

ensuite, tu supposes que c'est vérifié pour n quelconque
tu pars de cette expression ( égalité ou inégalité )
tu écris la même expression pour (n+1 )
A partir de l'expression pour n, tu dois arriver, par des calculs, à l'expression que tu as écrite pour (n+1)
c'est l'étape de l'hérédité qui est :
si la propriété est vraie pour n , alors elle est vraie pour n+1

[L.A.]

Bonsoir,

je continue la précédente explication (message de 20h17) :

si P vérifie : (1) pour tout n>=1 (P(n) vraie => P(n+1) vraie)
et (2) P(1) vraie

alors (P(1) vraie => P(2) vraie), donc P(2) vraie
alors (P(2) vraie => P(3) vraie), donc P(3) vraie
et ainsi de suite...

on montre finalement (c'est plus compliqué mais ça revient au même)
pour tout n>=1 P(n) vraie.

[Euler911]

Tu dois sans doute connaitre cette formule:

1re étape: P(1) est-elle vraie???

Oui: 1=1

2e étape: On suppose P(n) vraie:


3e étape: on en déduit que P(n+1) est vraie:



P(n+1) est donc vraie!

CONCLUSION: la proposition est vraie

[Nivek]

D'accord et merci.

Avec mon problème, j'ai prouvé que P(0) est vrai car 2^0>0
Je suppose que 2^n>2 et je montre que 2^(n+1)>n+1 mais là je ne sais comment faire.

[Euler911]

Montre plutôt que P(1) est vraie...

[Nivek]

Vola qui est fait donc 2^1>1
2>1

Que faire ensuite ?

[Euler911]

Tu as supposé P(n) vraie:

Multiplie P(n) par 2

[Euler911]

Je suppose que 2^n>2.

Non on suppose 2^n>n

[Nivek]

Voila : 2x2^n>2n d'ou 2^(n+1)>2n. Que faire ensuite ?

[Euler911]

C'est fini! la propriété est vérifiée pour (n+1):

[Euler911]

Il te faudra juste conclure;)

[leon1789]

le coeur de la preuve en lui-même est simple (de toute manière 2^n est évidemment énorme devant un petit n). Ce n'est pas le résultat qui est intéressant, mais ...

--> Cet exo est surtout fait pour s'entrainer à rédiger correctement la récurrence, donc il ne faut surtout pas négliger la rédaction (sous prétexte que c'est simple de dire )

[Euler911]

Je ne sais pas quoi répondre... Si ce n'est que je n'ai pas été très rigoureux dans mon aide en effet... :--: Merci de l'avoir signalé!

[leon1789]

Je ne sais pas quoi répondre... Si ce n'est que je n'ai pas été très rigoureux dans mon aide en effet... :--: Merci de l'avoir signalé!

:id: mais ce message ne t'est pas particulièrement destiné :
c'est un commentaire de ma part pour dire ce qu'il faut "apprécier" dans cet exercice, histoire de ne pas dire "ha oui, 2^n > n , ok, c'est nul, je passe." :zen:

[Huppasacee]

Comme P(1) a été vérifiée, il faut ensuite supposer que pour n>1, P(n) est vraie
Après les calculs , on arrive à
2^(n+1) >n+n, or n ......