Section ECE 1ère année, ensembles finis

[k-ribou]

Bonjour à tous,
je n'arrive pas à comprendre mon exercice. Quelqu'un peut-il m'aider ?
je vous transmets l'intégralité des questions. Si vous pouviez au moins m'en expliquer 1 ou 2, cela m'aiderait peut-être à mieux comprendre le mécanisme de l'exercice.
Le fait que ce soient des 3n-listes me perturbe !


Voilà l'énoncé :
n appartient à N étoile. Une urne contient n boules noires et 2n boules blanches. On tire des boules au hasard de cette urne, une à une, sans remise, en notant à chaque fois la couleur de la boule tirée?
On appelle "manière de vider l'urne" une 3n-liste contenant n fois la lettre N et 2n fois la lettre B.

1) Combien y-a-t-il de manières de vider l'urne ?
--> J'ai trouvé (3n)! mais je n'arrive pas à le démontrer rigoureusement...

2) Combien y-a-t-il de manières de vider l'urne en obtenant la première boule noire au rang p ? (p donné).

3) Combien y-a-t-il de manières de vider l'urne en obtenant la dernière boule noire au rang p ?

4) Combien y-a-t-il de manières de vider l'urne en obtenant la dernière boule noire au plus tard au rang 2n ?

5) Combien y-a-t-il de manières de vider l'urne en n'obtenant que des boules de la même couleur à partir du rang p ?


J'attends votre aide
k-ribou

[thomasg]

Bonjour,

il me semble (sauf erreur de ma part... ce qui arrive souvent) que ta première réponse est fausse.

En effet, une "manière de vider l'urne" correspond à une manière de répartir les n boules noires parmi 3n places possibles.

Le nombre de manières de vider l'urne correspond donc au nombre de combinaisons de n éléments parmi 3n (ou de 2n parmi 3n si tu considère les boules blanches, ce qui revient au même), c'est à dire:
3n!/(n!*(2n)!)

A bientôt.

[becirj]

Pour moi, ta première réponse est bonne puisque le texte dit qu'une manière de vider l'urne est une 3n-liste.

2. Puisque la première boule noire doit être au rang p, il faut commencer par tirer (p-1) boules blanches parmi (2n) donc il faut une (p-1)-liste parmi 2n. Le nombre de (p-1)-liste parmi 2n est =(2n)(2n-1)...(2n-(p-1)+1)=2n(2n-1)(2n-p+2) avec p<2n+2