Probleme polynomes

[anyone]

bonjour, voici un problème que j'ai du mal à résoudre :

Soit n E N*, on considère T:Kn[x] --> Kn[X] qui à tout polynome P E Kn[X] associe le poly P(X+1)-P(X)
1) montrer que T est un endomorphisme de Kn[X]
j'ai montré qu'elle est linéaire > ça marche !

2) on pose P0=1 et pour tout k E {1,....,n} Pk = [X(X-1)...(X-k+1)] / k!
a. montrer que {P0, .. Pn} est une base de Kn[X]
> j'ai du mal a montré que cette famille est libre

b. calculer T(Pk) pour tout k E {1,....,n}
c. en déduire Ker(T) et Im(T) (on pourra utiliser la décomposition dans la base {P0, .. Pn}

3) a. calculer pour tout (i;j)E {1,....,n}², Ti(Pj)(0) (Ti= To...oT)
b. en déduire P(X) = SOMME DE k=0 à n Tk(P)(0).Pk(X)
c. dans le cas où n=5, calculer les coordonnées de X^4 dans la base {P0, .. ,P5}

merci de m'aider .. je suis bloqué à la question 2 pour l'instant

[XENSECP]

c'est une famille de polynôme étagée en degré donc libre ;)

[anyone]

oui je m'en étais rendu compte après l'avoir posté..

pour T(Pk)
j'ai : [ ((X(X+1)..(X-k+2))(X(X-1)...(X-k+1)) ] / k! si je ne me suis pas trompé
mais a partir de la, je bloque


merci ^^

[XENSECP]

je suppose que tu as oublié un "-" !?

[anyone]

oui excusez moi [ ((X(X+1)..(X-k+2))-(X(X-1)...(X-k+1)) ] / k!

mais après, je fais quoi svp ? ?

merci ^^

[anyone]

si je factorise ça fait (X(X-1)(X-2)..(X-k+1))*((X+1)(X-k+2)-1) /k! ??