Petit problème de polynômes

[Hick_Jeck]

Bonjour à tous,
j'ai un polynôme Q réel de degré n qui vérifie Q(x+1) = Q(x).
Je dois montrer que si Q admet une racine réelle, alors Q admet n+1 racines réelles. Et après, je dois en déduire que Q est le polynôme constant ou nul.

Je n'ai pas vraiment d'idées pour partir.

J'essaye de dire que Q(x)-Q(x+1)=0 est toujours vrai, puis de décomposer Q sous la forme (x-alpha)(a0+a1*x+a2*x²+...+an*x^n), mais je n'ai pas l'impression que ça me mène grand part.

Un petit coup de pouce serait bienvenu (sans me donner la réponse bien sûr).
Hick_Jeck

[benekire2]

Salut,

si p est une racine de Q alors par définition Q(p)=0 ... or Q(p+1)=Q(p) donc Q(p+1)=0 par transitivité. Que peut-on dire de p+1 (toujours par définition) ??

[arnaud32]

si a est racien de Q
Q(a)=0
et Q(a+1) = ?
puis pare recurrence
Q(n+1+a) = ?

[Hick_Jeck]

Merci de vos deux réponses.

Salut,

si p est une racine de Q alors par définition Q(p)=0 ... or Q(p+1)=Q(p) donc Q(p+1)=0 par transitivité. Que peut-on dire de p+1 (toujours par définition) ??

Q(p1) = 0 car p1 est une racine de Q.
Q(p1) = Q(p1+1)
Donc Q(p1+1) = 0 (par transitivité)
Donc p2 = p1+1 est aussi une racine de Q
Donc Q(p2) = 0
Q(p2+1) = 0
p3=p2+1=p1+2 est une racine de Q.

Je m'arrête quand ? Quelle condition fait que je dois m'arrêter ?

Merci d'avance,
Hick_Jeck

[arnaud32]

pour ta redaction,
le mieux c'est de dire que pour tout n , p1 + n est racine de Q
n=0 vrai
Q( p1+(n+1))=Q( (p1+n)+1)=Q(p1+n)=0

tu as donc une inifinite de racines reeles distinctes.
donc tu as a fortiori deg(Q)+1

or Q, polynome, a au plus deg(Q) racines ou sinon il est nul.

donc Q est nul

[benekire2]

attention toutefois arnaud , le polynôme Q est nul si l'on suppose qu'il possède une racine ... sinon il est constant.

[Hick_Jeck]

Ok. J'ai bien compris la récurrence, et je n'avais pas noté la subtilité du « AU MOINS n+1 racines ».

Tout ce qu'on peut déduire de ça, c'est que Q n'a pas de racines dans IR ou alors que c'est le polynôme nul, non ? Comment exclure les polynômes qui n'ont pas de racines dans IR mais qui ne sont pas constants ? Ou bien j'interprète mal l'implication (ce qui est fort probable aussi :ptdr: ).

Merci à vous deux,
Hick_Jeck

[arnaud32]

en fait si tu suppose que Q est non constant
Q est scinde sur C
tu peux refaire le raisonnement que tu as fait dans R dans C et trouver une infinite de racines.
et tu e deduis que Q=0 (donc constant)
ce qui est absurde
et tu as Q= cst
le cas Q= etant un cas particulier de constance.

[Hick_Jeck]

Yop :) .
J'ai réussi à finir l'exercice grâce à vous. Merci beaucoup.