Exercice de geométrie 1ereS

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Bonjour à tous !

Alors voila j'ai un exercice de maths à faire et le problème c'est que celui-ci repose sur une propriété dont je ne me rapelle pas, je ne la retrouve même pas dans mon cours.

Je vous mets le sujet:

1)
ABC est un triangle.
Démontrer que pour tout point M du plan, MA.BC+MB.CA+MC.AB=0

2)
Uutiliser la propriété établie à la question 1 pour démontrer que les trois hauteurs d'un triangle ABC sont concourantes.

Il y a egalement un 3) que je posterais plus tard.

Je vous remerçie d'avance pour votre aide.

[mathelot]

(1)

Bonsoir,

Question 1

Il suffit de décomposer les 6 vecteurs en utilisant une relation de Chasles avec G, équibarycentre de A,B,C

bien sûr, on utilise:



et la bilinéarité du produit scalaire.

question 2:

Deux hauteurs sont concourantes en un point sinon deux côtés seraient parallèles.

Soit H le point de concours de deux hauteurs issues de A et B.
En écrivant la relation (1) avec M=H, on obtient que la droite (CH) est, elle aussi, une hauteur.

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Pour la 1) j'avais essayé de le faire en faisant apparaitre MA.
Sa donnait ça à la fin du calcul:

MA.BC+MA.CA+MA.AB

Et donc que MA.BC+MA.CA=MA.(BC+CA)

[mathelot]

Pour la 1) j'avais essayé de le faire en faisant apparaitre MA.
Sa donnait ça à la fin du calcul:

MA.BC+MA.CA+MA.AB

oui, excellent. :++:

Il ne reste plus qu'à mettre en facteur .
Et la somme donne le vecteur nul :

D'où zéro comme résultat. CQFD.

[r0r0]

D'accord, merci pour l'aide !

[r0r0]

Pour la question 2 j'ai juste à faire ce que tu as dit ?

[r0r0]

Donc la nouvelle relation avec H sa donne:

HA.BC+HB.CA+HC.AB=0

[busard_des_roseaux]

Donc la nouvelle relation avec H sa donne:

HA.BC+HB.CA+HC.AB=0

Une fois cette égalité écrite, H appartient aux hauteurs issues de A et B.
Les deux premiers produits scalaires sont nuls, donc aussi le 3ème.

et sont deux vecteurs orthogonaux.

H appartient à la hauteur issue de C. CQFD.

[r0r0]

Ok merci beaucoup !