Exercice de produit scalaire.....un peu difficile

[hodr]

bonsoir, je vous ecrit ici car je suis un peu desemparé, nous avons un DM pour la semaine prochaine, mais malgré de nombreuse heures de reflection ( seul, ainsi qu'avec d'autre de la classe) , nous ne trouvons pas la solution, nous n'arrivon meme pas a démarer l'exercice,

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ABC est un triange non equilatéral, H est son orthocentre , G son centre de gravité, O le centre de son cercle circonscrit.

(les lettres majuscules qui suivrons devron etres considérée comme des vecteurs)

on pose U = OA + OB + OC - OH.

le " . " est le scalaire)

1) a) justifier les egualité suivantes U.AB = (OA+OB+HC) . AB
                                                       =2OI . AB où I est le milieu de [AB]

b) en deduire que U . AB = 0

2) demontrer de meme que U . BC =0

3) en deduire que U = 0 puis que OH = 3OG

4) Que peut on en conclure pour les points o, h et G ?

voila..... merci d'avance si quelqu'un pouvais debloquer la situation

[yvelines78]

bonsoir,

dans un triangle équilatéral, le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l'orthcentre sont confondus puisque les hauteurs sont aussi médianes, médiatrices

[hodr]

a ce niveau c'est bon , la construction nous y sommes parvenu, c'est plutot au niveau des scalaire ;.....

[Dr Neurone]

En effet Hodr , G = H = O si le triangle était équilatéral .
Cela étant ,
U = OA + OB + OC - OH = OA + OB + (OC - OH) = OA + OB + HC
Or OA+OB = 2OI d'ou U =2OI + HC
U.AB = (2OI+ HC).AB = 2OI.AB car HC.AB = 0
U.AB = 0 car OI.AB=0
2) De meme U = OB + OC + (OA - OH)
Meme principe que le précédent , d'ou U.BC = 0
3) U.AB = U.BC = 0
U(AB-BC) = 0 d'ou U = 0 car AB - BC non nul
Donc OA + OB + OC - OH = 0
OG + GA + OG + GB + OG + GC = OH
3OG = OH donc O,H,G alignés

Mais au fait , ou est donc la difficulté majeure dans cette histoire ? :hum:

[hodr]

je pense que la difficulté viend e nous.... -_-" qui ne sommes pas des doué xD

[Dr Neurone]

Proverbe chinois :"Plus on est de fous , moins on se concentre"