Exercice de limites de suite un peu difficile.

[balthir]

Bonsoir, je n'arrive pas à faire cet exercice , quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît?
Soit (An) une suite réelle et bornée et que : (quelque soit n supérieur ou égale 1) 2An (inférieur ou égale) An+1 + An-1
et on pose: (quelque soit n supérieur ou égale 0) Bn= An+1 - An
A-Montrer que la suite (Bn) est convergente et que sa limite est 0.
B-Montrer que la suite (An) est convergente.

[L.A.]

Bonjour.

Que peut on dire d'une suite réelle monotone (croissante ou décroissante) et bornée ?
Bn étant bornée, on peut chercher à montrer qu'elle est monotone.

Ensuite, c'est vrai que c'est un peu chaud :
si la limite l de Bn est non nulle, par exemple l>0, alors Bn est supérieure à l/2 à partir d'un certain rang N. donc pour n > N, (An+1 - An) > l/2,
on aboutit ensuite à une contradiction.

enfin (Bn) est monotone et tend vers 0, donc on sait quelque chose sur son signe, puis quelque chose sur (An).