Bloqué sur un DM (équivalent, limite, convergence...)

[lonelywolf]

Bonjour et bonne année.

Je suis en prepa hec 2ème année, j'ai un DM de maths sur convergence, intégrale, limite, équivalence. Je bloque un peu :


abreviations :
pdt(k,n) : produit pr k=1 à n

Voici une partie de l'énoncé :

a réel, n entier naturel non nul
Pn(a) = pdt(k,n) de (1 + a^2^k)

1/ discuter en fonction de a, l'existence de lim de Pn(a) en étudiant ln(Pn(a)).

=> ma question : est ce que sum(ln(1+a^2^k)) ~ ln(1 + a^2^n) ?


si oui, je trouve par suite : a réel strictement positif et :

a>1 : lim ln(1 + a^2^n) = +infini
0a=1 : lim ln(1 + a^2^n) = ln2


sauf que là je suis bloqué pr trouver l'équivalent de Pn(a) (pour ensuite trouver la limite) en +infini car je n'ai pas le droit de composer les équivalents par l'exponentiel... comment faire?


merci.

[fatal_error]

bonjour, pour l'équivalence :
si |a|!=0


Au numérateur on reconnait une suite géométrique

Donc

Enfin, je crois.

[lonelywolf]

bonsoir,

merci d'abord pour ta reponse. y a plusieurs choses que je ne comprends pas tt de meme :

- pourquoi avoir écrit : "si |a|!=0"?

- Pour la suite geom, je ne comprends pas :
sum(k=1,n) 2^k = 2 * (1-2^n)/(1-2) = -2(1-2^n) ~ 2^(n+1) en l'infini? mais de toutes les facon, là encore, on compose sur des équivalents la fonction ln... non? c'est du hors programme chez nous...

- enfin, admettons que l'on ait : comment je fais ensuite pour discuter de l'existence de limPn(a)? car comme je l'ai dit plus haut, je trouve :

a>1 : lim ln(1 + a^2^n) = +infini
0<a<1 : lim ln(1 + a^2^n) = -infini
a=1 : lim ln(1 + a^2^n) = ln2

mais après il faut que je compose par exp ce que je n'ai pas le droit de faire...





suite du DM :
pour n entier naturel non nul : Un(a) = a^2n / (pdt(k,n) de (1+a^2k))

1/ exprimer Un(a) en fction de Pn(a) et Pn-1(a)
en déduire que pour tt a réel, lim en +infini de Un(a) = 0

J'arrive à exprimer Un(a) en fonction de Pn(a) facilement mais je ne vois pas comment mettre Pn-1(a), Pn(a) et Un(a) dans une unique équation...



merci

[lonelywolf]

J'ai réussi pour

1)

Si|a|>1 alors ln(1+a^2^n)-->00 qd n-->00 donc ln(Pn(a))-->00 ainsi que Pn(a).

Si |a|=1 => Pn(a)-->00.

Si |a|<1 alors ln(1+a^2k)~a^2^k qd k-->00 donc la série de tg :ln(1+a^2k) est de même nature que la série de tg: a^2k(termes positifs) donc converge vers un réel s. donc Pn(a)-->exp(s).


2) j'ai aussi réussi à prouver que un(a)-->0


___
suite du DM :

2/b/ étudier la convergence de la serie som(Un(a)) pr n>=1 et donner sa somme qd elle converge

3/a/ étudier la convergence de l'integrale In = int(00,1) de Un(a)da pour n entier naturel non nul

b/ etuider la convergence et calculer eventuellement la somme de la série som(In)


merci!