Dm de math

[gungin]

bonjour a tous voici j nai un dm et je ne vois pas comment repondre a certaines questions

on note E l ensembre des fonctions verifiant pout tout x,y appartenant a R f(x+y)=f(x) +f(y)
j ai reussi a prouver que pour tout x de Q f(x)=xf(1) que f est impaire et que pout tout n de N f(nx)=n*f(x)

3) cette question on demande de prouver que l ensemble E inter l ensemble des fonctions reelles definies sur R et monotones au voisinale de 0 est l ensemble des fonctions lineaires .une implication est triviale mais l autre je vois pas je pense qu il faudrait prouver que pour tout x de R f(x)=f(1) grace a la monotonie mais je vois pas comment

4)on note F l ensemble des fonctiopns reelles definies sur R yel que pour tout x,y de R f(x+y)=f(x)*f(y).j ai prouver que les elements de F sont nuls ou ne s annule pas puis que les elements non nuls ne prennent que des valeurs strictement positives.on me demande de decrire l ensemble F inter les fonctions continues sur R
je sais que ce sont les fonctions puissances mais je n arrive pas le prouver.j ai essaye par implication reciproque mais je n arrive pas montrer qu un element est forcement une fonction puissance

voila tout merci d avance

[kazeriahm]

salut

pour la 3)

soit f dans E et monotone au voisinage de 0 (sur un intervalle I centré en 0 par exemple)

on peut supposer f croissante quite à changer f en -f

essaye de montrer que l'additivité de f (f(x)+f(y)=f(x+y)) implique qu'elle est monotone sur R (ici croissante)

ceci fait considère x réel quelconque

il existe une suite a_n de rationnels convergeant vers x par valeurs inférieurs et une suite b_n de rationnels convergeant vers x par valeurs supérieurs

f(a_n)<=f(x)<=f(b_n) ie a_n*f(1)<=f(x)<=b_n*f(1) en passant à la limite on a....

[kazeriahm]

pour la 4) comme tu l'as dit f ne s'annule pas ou bien f est nulle

donc on prend f non nulle (qui ne s'annule pas) continue, donc de signe constant

quite à changer f en -f on peut supposer f positive

regarde ce qui se passe pour g=ln(f)