Caractères de C^n dans C

[Pavel]

Bonjour.

J'ai un DM de maths dans lequel on s'intéresse aux caractères de C^n (les n-uplets complexes) dans C

On considère C^n comme une algèbre (C^n,+, ,*)
+ -> c'est le + normal
-> produit externe : multiplication de n-uplet par un scalaire
* -> produit interne défini par (a1,a2, ..., an)*(b1,b2,...,bn) = (a1*b1,a2*b2 ... an*bn)

et un caractère S est une application de C^n dans C qui est
- linéaire
- vérifie S(z1*z2) = S(z1)*S(z2)
- S(1) = 1 (dans S(1) il s'agit de l'élément neutre pour la multiplication de C^n)


On me demande de déterminer tous les caractères de C^n

Et je sais pas comment s'y prendre
Merci pour vos réponses.

[Yvon]

Bonjour,

Une piste : si on prend comme base de la base canonique etc.
On a alors
Il me semble, qu'on doit pouvoir prouver assez facilement que tous les sont nuls sauf au moins un.

Est-ce une bonne piste ?

[ThSQ]

application de C^n dans C qui est
- linéaire

linéaire = -linéaire ou -linéaire ?

Si c'est le 2ème cas (le + probable), y'a je trouve qu'il n'y que :


S((1,0,..)*(0,1,0...)) = 0 = S((1,0,..))*S((0,1,0...)) ... pareil pour les autres (0,.0,1,0...0). Y'en au plus un de non nul et comme S((1,1,..,1)) = 1 il n'y en a qu'un seul.


EDIT : c'est la même idée que Yvon.

[Pavel]

Merci bcp pour votre aide