DM sur le théorème de descargues

[juliendu46]

Voila j'ai un dm de maths, sur un sujet dont je ne connaissais pas l'existance! LE TEHOREME DE DESCARGUES (1636)


Il s'agit de deux triangles: ABC et A'B'C' tel que
A different de A'
B different de B'
C different de C'
et tel que les droites (AA') (BB') et (CC') soient concourantes en I.

On suppose que
les droites (BC) et (B'C') se coupent en P
les droites (AC) et (A'C') se coupent en Q
les droites (AB) et (A'B') se coupent en R

Le but de l'exo est de demontrere que les points P,Q et R sont alignés.


Démontrer qu'il existe des reels a,a',b,b',c,c' tels que I soit à la fois le barycentre de:
(A,a),(A',a')
(B,b),(B',b')
(C,c),(C',c')
et que:
a + a'=1
b + b'=1
c + c'=1

J'ai repondu: I est le barycentre de:
(A,1-k),(A',k)
(B,1-k),(B',k)
(C,1-k),(C',k)
donc que
a=b=c=1-k
a'=b'=c'=k
(car AI=kAA' idem pr B et B). Ca me parait juste étant donné que a + a'=1


Seulement la blague est plus loin !! :ptdr:

Montrer que si b = c alors b' = c' (ca me parait normal!)

Montrer que supposer que b = c conduit à une absurdité! (?????)

Montrer de même qu'il est impossible d'avoir a = b ou a = c (alors que j'ai trouvé: a=1-k; b=1-k ; c=1-k :briques: )




Si vous avez quelques minutes à perdre pour moi, ça m'arrengerait!!
J'espere avoir été assez clair!!
Merci d'avance pour les reponses! :ptdr: :ptdr:

[rene38]

Bonjour
DESARGUES

J'ai repondu: I est le barycentre de:
(A,1-k),(A',k) mais ce n'est
(B,1-k),(B',k) pas le
(C,1-k),(C',k) même k

[color=olive]Montrer que supposer que b = c conduit à une absurdité! (?????)

[/color]Si b=c alors b'=c' et un rapide calcul montre que (BC) et (B'C') sont parallèles
Or l'énoncé indique

[color=#006400]On suppose que les droites (BC) et (B'C') se coupent en P

[/color]

[juliendu46]

Ha d'accord, je me base donc sur le fait que les droites ne sont pas parallèles car elles se coupent entre elles. Et point k est différent dans chacun des cas.

Merci pour l'aide!! je vais passer à la suite de l'exo (les livres de maths ne sont JAMAIS a cours d'idées!!! :mur: )

:we: