Inégalité Arithméco-géométrique

[lapras]

Bonsoir,
je voudrais savoir si quelqun connaisait la démonstration de cette inégalité :
soit n un naturel > 0, a1,a2,...,an des des réels positifs alors :


J'ai essayé en élevant à la puissance n et en utilisant le binôme de newton, franchement c'est pas super !

Merci d'avance,

Lapras

[arnaud26]

je ne suis pas sur de ton symbole du coté gauche de l'équation. Ce sont des multiplications ? .... si ce sont des multiplications cette inégalité est fausse car en prenant n=1, on obtient a1

[lapras]

Oui ce sont des multiplications.
En fait c'est un "<=" apperement mais je ne sais pas le faire en LaTex, désolé.

[ThSQ]

Salut Lapras

Y'en une démo élémentaire dans le poly d'animath sur les inég.


NB = \leq

[lapras]

Merci Je ne l'avais pas vue !
Faut dire que déja avec le poly d'arithmétique j'ai pas tout fini donc les inégalités lol...

A+

Lapras :we:

[arnaud26]

Ah, d'accord, as tu esseyer par induction sur n ?

[lapras]

Désolé je n'ai pas les connaissances de prépa comme "induction", donc je ne vois pas de quoi tu parles.
je vais me renseigner. (aussi sur la "concavité de ln" , ils en parlent sur un site sur cette inégalité)

[arnaud26]

pour le montrer par induction tu dois
1) montrer que ta formule est vraie pour n=1
2) Supposer que ta formule est vraie pour n et sous cette hypothèse montrer que la formule restera vraie pour l'entier suivant n+1

[lapras]

En gros c'est la récurrence sous un autre nom XD

[kazeriahm]

salut lapras

pour reprendre la démo par concavité, si ca t'interesse c'est pas trop compliqué

on dit d'une fonction f à variable et à valeur relle qu'elle est convexe ssi



Graphiquement, c'est équivalent à dire que les cordes au graphe de f sont au-dessus de la courbe de f.

On dit alors de f qu'elle est concav si -f est convexe.

On montre que si f est deux fois dérivable, alors f est convexe ssi f''(x)>=0 pour tout x et donc que f est concave ssi f"(x)<=0

Ainsi, tu peux voir que ln est concave.

Alors, moyennant une petite réccurence, tu dois pouvoir montrer l'inégalité arithmético-gémoètrique

[bruce.ml]

Ce qui est terrible avec cette preuve c'est qu'on n'a justement pas besoin de la recurrence :p ça vient tout seul :)

[kazeriahm]

oui enfin faut juste montrer que si f est convexe, alors pour tout n et pour tout (x1,...,xn) alors f((x1+...+xn)/n)<=(1/n)*(f(x1)+...+f(xn))

[bruce.ml]

oui enfin faut juste montrer que si f est convexe, alors pour tout n et pour tout (x1,...,xn) alors f((x1+...+xn)/n)<=(1/n)*(f(x1)+...+f(xn))

Oui c'est sûr qu'il faut bien le prouver un jour, mais je mets ça dans les propriétés des fonctions convexes :we:

[lapras]

Wahou c'est énorme les fonctions convexes !
Et toutes les propriétés qui en découlent :we: :we:
J'ai hâte d'être en prépa....

[bruce.ml]

Wahou c'est énorme les fonctions convexes !
Et toutes les propriétés qui en découlent :we: :we:
J'ai hâte d'être en prépa....

En fait j'ai jamais utilisé les fonctions convexes pour prouver autre chose que ça :we: peut être l'inégalité avec la moyenne harmonique aussi. Tu verras il y a des choses bien plus puissantes en maths que ça :++:

[Imod]

Tu verras il y a des choses bien plus puissantes en maths que ça :++:

Personnellement je ne me suis toujours pas remis des fonctions holomorphes : que des résultats renversant

Imod