équations différentielles

[landa]

bonjour !

voila j'ai cet exercice à faire sur les équations différentielles et je n'y comprend absolument rien :

soit C=75.10^-6 et R=2.10^4

on a (1) U(t)+RCU'(t)= V(t) avec t exprimé en secondes

on suppose que V(t)=6e(-2/3 t)

et on a cette condition imposée :
(2) U(0)=1/3 V(0)

1) Démontrer que la fonction U définie sur [0;+infini[ par U(t)=(4t+2)e(-2/3 t) vérifie la condition (2)

pour ca j'ai trouvé : j'ai calculé tout d'abord U(0) j'ai trouvé 2 et pour V(0) j'ai trouvé 6 donc U(0)=1/3 V(0)

c'est à partir d'ici que je bloque :

2) Montrer que la fonction U est solution de l'équation différentielle (1)

3) étudier le sens de variation et calculer la limite de U en + l'infini

4) démontrer que l'équation U(t)=10^-3 admet une solution unique A sur l'intervalle [0;20[. donner un encadrement de A d'amplitude 1 seconde

voila j'espère que vous pourrez m'aider :help:

[hellow3]

Salut.

2. Tu dois calculer U'(t).
Puis U(t)+RCU'(t) pour montrer que c'est egal à V(t)

[landa]

je trouve :

U'(t)=e(-2/3 t) * (-8/3-8/3t)

et après je comprend pas, il faut que je fasse quoi ? :hein:

[hellow3]

Erreur de signe: U'(t)=e(-2/3 t) * (8/3-8/3t)

U(t)=(4t+2)e(-2/3 t)
et R*C=..

Calcules U(t)+RCU'(t)=...
..
..
a la fin, tu dois trouver: =V(t)

[landa]

ah oui dsl pour le signe je me suis tromper en recopiant j'avais bien trouver ca

bon ensuite quand je fais U(t)+RCU'(t) je trouve =6e(-3/3t)

c ca que je dois trouver non ? et comme ca ca marche avec V(0) ca fait 6

[hellow3]

plutôt 6e(-2/3t)=V(t)

[hellow3]

Je dois yaller. je reviens a peu près dans 1h.
Bon courage..

[landa]

oui oui décidément j'ai du mal avec les touches

moi aussi je dois partir mais je ne sais pas si je pourrais revenir ce soir si je ne peut pas je reviens de toute façon demain vers 14h30 dites moi si vous pourrez continuer à m'aider sinon tant pis j'essayerai de finir seul

en tout cas je vous remerci beaucoup déjà pour ces explications

[hellow3]

Pas de problèmes.

A demain.

[landa]

bonjour !

j'en suis toujours à ma question 2) une fois que j'ai fait le calcul et que je trouve 6e(-2/3t) qu'est-ce que je dois marquer pour dire que U est solution de l'équation différentielle : est-ce que je peut conclure tout de suite ou faut-il montrer autre chose ?

[hellow3]

Tu es parti de la fonction U(t),
tu as calculé: U(t)+RCU'(t)

et tu as montré que c'était egal à V(t), donc la fonction U(t) est bien solution de (1).

[landa]

ok donc je peut mettre directement après le calcul que U est solution

pour la question 3) j'ai fait l'étude du signe de la dérivée et j'en ai déduit que U(t) était croissante sur [0;1[ et décroissante sur [1;+infini[
pour la limite j'ai trouvé 0 c'est bien celà ?

[hellow3]

C'est bien ça.

[landa]

super
ensuite pour la question 4) je dois faire comment ? il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires mais comment je prouve qu'il n'y a qu'une seule solution ?

[hellow3]

ta fonction est strcitement croissante sur un premier interval, avec U(0)=2 je crois. Donc, d'après le theorme des valeurs intermediaires, ta solution n'y es pas.
Sur l'autre interval, la fonction est strictement décroiussante, avec U(1)>10-3 et lim U(t) en +infini=0;
D'après le même théorème, il y a une solution et elle est unique.

[landa]

ah oui d'accord ! et après avec la calculatrice je trouve que A est compris entre f(16) et f(17) !

super merci beaucoup j'ai tout compris !! :we:

c'est génial merci de votre patience vous m'avez vraiment bien aidé

[hellow3]

De rien. :we: