Récurrence

[caro_54]

la suite (un) est définie par u(1) = 3/2
et pour tout entier n > ou égal 1 :
u(n+1) = 1/2 (u (n) + 2 / u(n) )

on sait que : u(n) >0
on sait que : u(n+1)- racine de 2 = 1/2 [(u(n)- racine de 2 ) ^2 /u(n)]
on sait que u(n) > racine de 2

je bloque sur cette question :

démontrez que :

u(n+1) - racine de 2 = 1/2 (u(n) - racine de 2 ) + 1/u(n) - 1 racine de 2

déduisons que : u(n+1) - racine de 2 < 1/2^n

je sais qu'il faut démontrer par récurrence mas je n'y arrive pas
merci de votre aide

[hellow3]

Salut.

on sait que : u(n+1)- racine de 2 = 1/2 [(u(n)- racine de 2 ) ^2 /u(n)]
= 1/2 [(u(n)²- 2*U(n)*racine de 2 +2) /u(n)]
= 1/2 [(u(n)²- U(n)racine de 2 -U(n)racine(2) +2 ) /u(n)]
= 1/2 [(u(n)²- U(n)racine de 2)/U(n) + (-U(n)racine(2) +2 ) /u(n)]
= 1/2 [(u(n)- racine de 2 +(-U(n)racine(2) +2 ) /u(n)]
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] +1/2[(-U(n)racine(2) +2 ) /u(n)]
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] +1/2[-U(n)racine(2)/U(n)] +1/2[2/u(n)]
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] +1/2[-racine(2)] +1/2[2/u(n)]
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] +1/2[-racine(2)] +1/u(n)
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] -racine(2)/2 +1/u(n)
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] -racine(2)/(racine(2)*racine(2)) +1/u(n)
= 1/2 [(u(n)- racine de 2] -1/racine(2) +1/u(n)


SUPPOSONS u(n) - racine de 2 < 1/2^(n-1) vraie.
u(n+1) - racine(2) = 1/2 [(u(n)- racine de 2] -1/racine(2) +1/u(n)

Par hypothese de recurence, 1/2 [(u(n)- racine de 2] <1/2^(n-1)

donc u(n+1) - racine(2) < 1/2[ 1/2^(n-1) ] -1/racine(2) +1/U(n)
u(n+1) - racine(2) < 1/2^(n) -1/racine(2) +1/U(n)

Or on sait que 0Donc:1/U(n)<1/racine(2)
et 1/U(n) -1/racine(2)<0

On en deduit donc:u(n+1) - racine(2) < 1/2^(n) -1/racine(2) +1/U(n)
u(n+1) - racine(2) < 1/2^(n)

[caro_54]

merci , mais alors quel est la limite de la suite (un) ?

[hellow3]

lim (1/2)^n=?

[caro_54]

la question est :

est -ce- que la suite (un ) a une limite ?

[hellow3]

u(n+1) - racine(2) < 1/2^(n)
donc lim u(n+1) - racine(2) < lim 1/2^(n)
donc lim u(n+1) - racine(2) =0
donc lim Un=racine(2)

(Un) a une limite.