[Terminale S] Complexes : Suites

[koopek]

Bonjour, j'ai un problème avec un exo de maths :(

On me donne une suite complexe telle que :
2 Z(n+1) = Z(n) + i
Z(0) = 1
On me demande de démontrer que R(n) (module de Z(n)) est inférieure à 1 pour tout n de N.

Ce que j'ai fais :
J'ai pensé à une démonstration utilisant la récurrence.

Initialisation :
Z(0) = 1 d'où R(n) = 1
La propriété se vérifie donc au rang 0.

Hérédité :
On suppose R(n) =< 1.
On se propose de vérifier ssi R(n+1) =< 1
Et c'est dans le calcul de R(n+1) que je bloque.
Voilà ce que j'ai fais :
Z(n+1) = 1/2 Z(n) +1/2(i)
= 1/2 (a + ib) + 1/2(i) (avec a et b réels)
= 1/2(a) + 1/2(ib) + 1/2(i)
= 1/2(a) + (1/2(b) + 1/2)(i)

rc signifie racine carrée.
R(n+1) = rc((1/2a)² + (1/2(b) + 1/2)²)
= rc(1/4(a)² + 1/4(b)² + 1/2(b) + 1/4)

Vous avez des idées ?

[koopek]

Voilà je up mon sujet car j'ai l'impression qu'il est oublié ^^