2 Exercices de Spé Maths

[Cramoisi]

Voilà j'ai 2 exercices à faire pour demain, malheureusement je bloque sur une partie des questions : (pour info le chapitre du livre c'est la congruence.)

Premier Exo :

1 . Etudiez suivant les valeurs de n, le reste de la division de 7^n par 10.

- Ca c'est simple on voit que :
si n=4k le reste est 1
si n=4k+3 le reste est 7
si n=4k+2 le reste est 9
si n=4k+3 le reste est 3

2 . On pose pour tout entier naturel n :

A = 1 + 7 + ... + 7^n

Quel est le chiffre des unités de A ?

- Bon là j'ai remarqué le chiffre des unités c'etait la somme des restes. Par exemple si n=1, le chiffre des unités c'est 1 + 7, si n = 2 c'est 1 + 7 + 9, etc, sauf que faut le prouver et je ne sais pas comment faire :/

Deuxième Exo :

1. Vérifiez que le nombre 7 divise les nombres 2^6 -1 ; 3^6 -1 ; 4^6 -1 et 5^6 -1.

- Par calcul, ca se prouve tout de suite, pas de probs.

2. n est un entier naturel et Sn = 2^n+3^n+4^n+5^n. Démontrez que Sn+6-Sn est divisible par 7.

- Ca aussi c'est simple, pas de probs.

3. n est un entier naturel et r son reste dans la division par 6. Démontrez que Sn est congrus à Sr (modulo 7)

- Je ne sais pas :/

4. Trouvez les valeurs de n pour lesquelle Sn est divisible par 7.

- Je ne sais pas :/

5. On pose Tn=100^n+101^n+102^n+103^n. Démontrez que Sn est congrus à Tn (modulo 7). Déduisez-en les valeurs de n pour lesquelles Tn est divisible par 7.

- Je ne sais pas :/

Voila donc je bloque à la question 2 du 1 et aux questions 3,4 et 5 de l'exo 2.

Merci d'avance. :)

[Thalès]

pour le 2, A=1+7^1+7^2+...+7^n
A=[7^(n+1)-1]/6
Donc ça dépend du n+1 s'il s'écrit de la forme 4k,4k+1,4k+2 ou 4k+3

[Cramoisi]

D'accord ca dépend de n+1 mais je vois pas trop comment ca me permet de trouver le chiffre de l'unité :/.

[Thalès]

n+1=4k
7^(n+1) a pour unité 1
n+1=4k+1
7^(n+1) a pour unité 7
n+1=4k+2
7^(n+1) a pour unité 9
n+1=4k+3
7^(n+1) a pour unité 3
donc tu as les unités possibles de 7^(n+1) : 1,7,9,3
donc pour 7^(n+1) - 1 : 0 , 2 , 6 , 8
donc 0 , 2 , 6 , 8 pour 7^(n+1) - 1 / 6 = A

[Cramoisi]

J'ai regardé la démonstration et je l'ai comprise, toutefois en calculant quelquefois A avec plusieurs n différents, on voit que le chiffre des unités c'est 0,1,7 et 8 :/

[Thalès]

Attends :D, j'ai fait une petite faute
pour 7^(n+1) - 1 on a : 0 , 2 , 6 , 8
J'ai oublié le fait qu'on divise par 6
pour 0 = 0 ou 5
pour 2 = 2 ou 7
pour 6 = 1 ou 6
pour 8 = 3 ou 8
donc c'est toutes les unités sauf 4 et 9 :p

[Cramoisi]

Ya un problème quelquepart paske les seules solutions possibles pour l'unité sont 0,1,7,8 .

Je sais pas comment le prouver mais c'est la somme des restes :

1
1+7= 8
1+7+9 = 17 (l'unité est 7)
1+7+9+3 = 20 (l'unité est 0)

[Thalès]

Oui c'est vrai tu as raison, donc d'après mon raisonnement, je devrais exclure le 2,3,5 et 6

[Cramoisi]

Ouais mais bon on peut pas exclure juste paske j'ai fait des essais donc le raisonnement n'est pas le bon je pense. Il doit y avoir une autre méthode :/

Quelqu'un a-t-il une autre idée pour ca et pour l'exercice suivant ?

NB : Le chapitre traite des congruences donc il ya de grande chances que le raisonnement se fasse avec .

[Thalès]

euh... je pense que c'est ça : tu va utiliser ce que tu viens de faire avant :
pour n=4k'
on a : A= 7^4k+7^(4k+1)+7^(4k+2)+7^(4k+3)+...+7^4k'
A= (1+7+9+3)+(1+7+3+9)+...+(1+7+3+9) {x fois}
A= 20 x
et quelque soit x, l'unité de 20x sera 0
puis la même chose :
pour n=4k'+1
on a : A= 7^4k+7^(4k+1)+7^(4k+2)+7^(4k+3) + 7^[4(k+1)+1]+...+7^(4k'+1)
A= (1+7+9+3)+(1+7+3+9)+...+1+7+3+9+1
A= 20 x + 1
quelque soit x, 20 x aura pour unité 0 d'où 20x+1 aura 1
avec la même technique : 20x+1+7 = 20x+8 (unité 8)
20x+1+7+9=20x+17 (unité 7)
Voilà

[Cramoisi]

J'ai du mal à comprendre la fin du raisonnement avec 7 et 8 :/

[Cramoisi]

J'ai finalement tout trouvé sauf la réponse à la question 4 du 2ème exercice, quelqu'un aurai-il une idée ?

[Nightmare]

Une idée pour le 4. :

Modulo 7 :


Ainsi, si n est impair,

Autrement, si n est pair :


Il suffit d'examiner les valeurs de 2^n et 3^n suivant les formes de n et de voir quand est-ce que cela s'annule.

[Cramoisi]

Je ne comprends pas trop pourquoi 2^n+2^n+3^n+3^n = 2^(n+1)+3^(n+1)

[Nightmare]

Allons ...


Idem pour l'autre.

[Cramoisi]

Ah bah oui, dsl j'ai pas réfléchi là ^^.

[Cramoisi]

Je vais ptet encore paraitre stupide mais 3^n+3^n = 2 * 3^n n'est pas égale à 3^n+1 . Ou alors je suis vraiment fatigué :/

[Nightmare]

Oui en effet jme suis emporté. Bref l'idée est la même.