ouais j'ai pas fait gaffe aux indices...
Merci bien!
Calculer une série
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par Pythales » 30 Mai 2007, 18:52
Et celle là, vous la connaissez ?
Je pars de :^{2p+1}=cos(2p+1)t+isin(2p+1)t)
soit :t)
où :t}{sin^{2p+1}t})
ce qui montre que les nombres
sont racines de :^pC^{2p+1}_{2p+1}=0)
d'où :}{3})
et comme
on en déduit facilement que }{3})
Il reste à remarquer que
d'où^2}{k^2\pi^2}<\frac{1}{sin^2\frac{k\pi}{2p+1}})
et par sommation :}{(2p+1)^2}<\sum^p_1\frac{1}{k^2}<\frac{\pi^2}{6}\frac{2p(2p+2)}{(2p+1)^2})
d'où la formule lorsque
Je pars de :
soit :
où :
ce qui montre que les nombres
sont racines de :
d'où :
et comme
Il reste à remarquer que
et par sommation :
d'où la formule lorsque
par fahr451 » 30 Mai 2007, 19:39
une démarche très proche toujours avec la cotan permet de calculer de façon élémentaire tous les zéta (2p)
par yos » 30 Mai 2007, 20:27
Hadamard a rendu rigoureuse la "preuve" d'Euler mais du coup il faut un lemme d'analyse complexe pas très simple.
Ce que wiki nomme "la preuve de loin la plus simple disponible" est pas très engageant.
La méthode des séries de Fourier adaptée au niveau terminale S est bien (tombée au bac C années 70-80) :
Ce que wiki nomme "la preuve de loin la plus simple disponible" est pas très engageant.
La méthode des séries de Fourier adaptée au niveau terminale S est bien (tombée au bac C années 70-80) :
pour a et b convenables (se fait en deux intégrations par parties).
- La somme partielle des
s'obtient en sommant les intégrales donc les
(avec les complexes)
- yapluka faire tendre n ver l'infini.
par fahr451 » 30 Mai 2007, 20:33
suis d'accord avec yos (comme d'hab?) c'est la preuve la plus simple que je connaisse
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