Calculer une série

par **rifly01** » 29 Mai 2007, 20:53

Bonjour,

Comment peut-on prouver que :

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avec les moyens de L1.
Merci d'avance.

par **Joker62** » 29 Mai 2007, 21:33

Hum Hum
Avec les moyens de L1

Déjà en L1 on voit pas les séries... donc bon...
C'est pour la culture personnelle où pour tes cours ?

par **nekros** » 29 Mai 2007, 21:45

Salut

Si si c'est possible...

Tu peux aller voir ici http://www.velvia.org/documents/fayard-175/devoir-calcul_de_zeta_2.pdf

par **Joker62** » 29 Mai 2007, 21:47

On sent de la Série de Fourier cachée la dedans lol

par **Pythales** » 29 Mai 2007, 22:41

Euler avait trouvé une méthode très simple (mais pas très rigoureuse) pour calculer la somme des inverses des carrés :
On sait que si

et

sont racines de

, alors

En divisant par

, on voit que

Ce résultat se généralise à une équation de degré

Or

et si je pose

,

a pour zéros les nombres

. En appliquant la formule précédente, j'en déduis que

Ce raisonnement n'est peut-être pas très rigoureux, mais il a le mérite de la simplicité

par **rifly01** » 30 Mai 2007, 00:22

Pour répondre à Joker62,

C'est pour la culture personnelle.

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 02:03

Hé bien tu acquériras cette culture au semestre suivant, super intéressant d'ailleurs.

Pour l'instant, la méthode Nekros est pas mal, certes, beaucoup de points intermédiaires, mais tout de même, t'es en L1...

Sinon la méthode d' Euler, j'ai pas compris lol

Et donc pour ta culture :

on pose f(x) = x² pour tout x dans [-pi ; pi] 2pi périodique.

tu verras que la Série de Fourier de f vaut :

avec

f est paire, donc b_k = 0 pour tout k

on calcule

D'où

En prenant

on a

D'où le résultat. Mais bon je t'ai épargné quelques détails

Avec les séries de Fourier on retrouve pleins de résultats sympathiques.

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 07:32

En divisant par x^2, on voit que \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{B}{C}

Bonjour je comprends pas ce passage dans la méthode d'Euler....

par **thomasg** » 30 Mai 2007, 07:53

Bonjour,

en divisant par x² et en posant X=1/x on obtiens le polynôme
A+BX+CX² si a1 et b1 sont ses racines a1+b1=-B/C

Or (A+B/a+C/a²)*a²=0
donc A+B/a+C/a²=0

donc 1/a est racine de A+BX+CX²
de même pour 1/b.

Donc 1/a+1/b=-B/C

A bientôt.

par **mehdi-128** » 30 Mai 2007, 08:07

Bonjour merci pour ta réponse mais comment obtiens-tu:

Or (A+B/a+C/a²)*a²=0 ??

par **thomasg** » 30 Mai 2007, 09:05

(A+B/a+C/a²)*a²=Aa²+Ba+C=0 (car a est racine de AX²+BX+C par hypothèse)

par **sue** » 30 Mai 2007, 10:16

Bonjour,

tiens , j'avais cette question dans un ds cette année et c'était juste avec les complexes et un peu de connaissances sur les poly . c'était intitulé problème de Mangoli , je viens en fait de chercher sur wiki et il y a exactement la démonstration (à part celle d'Euler) qui était demandé avec des questions intermédiaires biensûr .

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 11:31

Avec Wiki c'est plus clair c'est vrai lol :D
Sympa finalement cette petite démo :)

MErci Sue ;)

par **fahr451** » 30 Mai 2007, 11:47

pour moi cette "démo" est une escroquerie

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 11:49

T'es jamais content toi :D

par **B_J** » 30 Mai 2007, 13:00

Salut ;
on trouve 14 preuves de cette egalité ici
cordialement

par **jeanne** » 30 Mai 2007, 13:06

Bonjour,
Je suis en train de me casser la tête pour mes rattrapages d'analyse.
Je suis en L2 maths-physique et censée connaître le développement en série entière de 1 / (1+x²)...
Est ce que quelqu'un le connait?
Merci par avance

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 13:09

si tu connais celui de 1/(1-x) c'est bon

par **jeanne** » 30 Mai 2007, 13:34

Ok donc :

1/(1-x) =

et 1/(1+x) =

et finalement 1/(1+x²) =

Je galère un peu pour l'écriture donc c'est x à la puissance 2n.
J'ai juste?

par **Joker62** » 30 Mai 2007, 13:46

C'est bon, sauf que c'est pas (-1)^n x^2n mais (-1)^k x^2k

Et donc, ptite info, si tu intégres terme à terme, tu trouveras le DL de ArcTan :)

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