Inégalité d'Oleinik

[MisterL]

Bonsoir !!!!

Petit pbm, j'espère que vous allez pouvoir m'aider !!!!


Je suis obligé de donner une petite définition avant de pouvoir vous expliquer mon problème :

On définit l'inégalité d'Oleinik ainsi :
Soit u L;)([0, T[×R). On dit que u satisfait `a une inégalité d’Oleinik si et seulement si
C :]0, T[;);) R décroissante telle que
u(t, y) u(t, x) C(t)(y x) y x, t > 0.

on peut donc aussi écrire que u satisfait l'égalité d'Oleinik si : u(t, y) u(t, x) (y x)/t y x, t > 0





Soit par exemple l'équation v : ( pour t quelconque fixé positif )

v(t,x)=
0 si x t

v(t,.) est C0 sur R et C1 par morceaux sur R.

La dérivée partielle de v par rapport à x est :

dx v(t,x)=
o si x t

( dx v est la dérivée partielle de v par rapport à x )

Ici, on doit pouvoir en déduire ceci : ( mais je ne vois pas pourquoi? )
( v(t,y) - v(t,x) ) / ( y - x ) 1/t ,;)y x, et pour tout t positif.
On retrouve l'inégalité d'oleinik qui est ainsi vérifié.( en mulitipliant par y-x > 0


Autre exemple avec la fonction a définit par : ( pour t positif fixé )

a(t, x) =
1 si x 0,
1 si x > 0


d'où

dx a(t, x) =
0 si x 0
0 si x > 0

Ainsi ( a(t,y) - a(t,x) ) / ( y - x ) 0

et on a l'inégalité,
( a(t,y) - a(t,x) ) 0 (y-x) / t

C'est cette dernière ligne qui me pose pbm parce que je devrai trouver que le fonction a ne vérifie par l'inégalité!


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Merci beaucoup à ceux qui se donneront la peine de me répondre ! :we:

[tize]

...
Ici, on doit pouvoir en déduire ceci : ( mais je ne vois pas pourquoi? )
( v(t,y) - v(t,x) ) / ( y - x ) 1/t ,;)y x, et pour tout t positif.
On retrouve l'inégalité d'oleinik qui est ainsi vérifié.( en mulitipliant par y-x > 0...

Bonjour,
tu as montré que la dérivée de est majorée par , l'inégalité des accroissements finis nous montre donc directement ce que tu cherches.

...
dx a(t, x) =
0 si x 0

ça n'est pas exact, en 0 la fonction n'est pas dérivable à droite...on ne peut donc pas appliquer l'inégalité des accroissements finis sur tout entier.
La fonction "a" ne vérifie pas l'inégalité car pour tout , on a :
et et on a pas avec fixé.

[MisterL]

Voilà , j'ai compris ! :we: C'est exactement ça.



Merci!