Démonstration limite de l'exponentielle

[chewie]

Bonjour à tous,

En devoir, il nous a été demandé de démontrer, à partir de peu de données, que
en +infini valait plus l'infini.

N'ayant pas appris mon cours :marteau: , j'ai fait une démonstration peu orthodoxe que je trouve juste (ben forcément :we: ), mais mon professeur la considère comme fausse, sans en donner la raison ... :hum:

Pourriez vous me donner votre avis ?
est strictement croissante sur et sa dérivée est égale à elle-même.
Donc est strictement croissante.

La dérivée représente l'accroissement de la fonction (si je ne m'abuse), par conséquent :



C'est a dire que que la fonction exponentielle croît de plus en plus vite, ( la différence entre deux termes proches est de plus en plus grande) sa limite est donc plus l'infini.


C'est juste ou pas ? Si vous pouviez au moins m'éclairer sur la faute.


Merci

[chewie]

Personne n'a une idée ?

[Nightmare]

Bonsoir

Une méthode rapide est de constante que la fonction est croissante sur [0;+oo[ et vaut 0 en 0.
On en déduit que pour tout x positif, , ie donc par passage à la limite la conclusion est directe.

[Quidam]

Ta démonstration est effectivement incorrecte (c'est à Chewie que je m'adresse !) !

est strictement croissante sur et sa dérivée est égale à elle-même.
Donc est strictement croissante.

L'expression n'a pas de sens !

La dérivée représente l'accroissement de la fonction (si je ne m'abuse), par conséquent :

Du fait que la fonction est strictement croissante, tu peux affirmer que :
et que
mais certainement pas que : , enfin je veux dire "pas sans justification supplémentaire" !

C'est a dire que que la fonction exponentielle croît de plus en plus vite, ( la différence entre deux termes proches est de plus en plus grande) sa limite est donc plus l'infini.

Cette phrase aussi laisse à désirer. "la fonction exponentielle croît de plus en plus vite", ça il faut le démontrer ! "la différence entre deux termes proches est de plus en plus grande" même chose avec en plus un flou artistique sur "deux termes proches" !

la fonction exponentielle croît de plus en plus vite, ---> sa limite est donc plus l'infini.

Ca aussi, faut le prouver ! (à supposer que la prémisse "la fonction exponentielle croît de plus en plus vite" ait été clarifiée et démontrée, ce qui n'est pas le cas !)

[chewie]

Merci beaucoup pour vos réponses :zen:

L'expression n'a pas de sens !

J'entends par là, la dérivée de
(L'utilisation de la parenthèse était juste pour faciliter la lecture, mais il est vrai que ce fut un mauvais choix).

Citation:
Posté par chewie
C'est a dire que que la fonction exponentielle croît de plus en plus vite, ( la différence entre deux termes proches est de plus en plus grande) sa limite est donc plus l'infini.

Cette phrase aussi laisse à désirer. "la fonction exponentielle croît de plus en plus vite", ça il faut le démontrer !

Pourtant, la dérivée d'une fonction représente bien l'accroissement de cette fonction à la même abscisse : donc, étant donné que l'exponentielle est croissante, sa dérivée aussi, donc la fonction s'accroit de plus en plus, non ?

Bon pour le reste, c'est vrai que ça reste assez comique, et c'était pire dans le devoir :ptdr:

Citation:
Posté par chewie
la fonction exponentielle croît de plus en plus vite, ---> sa limite est donc plus l'infini.

Ca aussi, faut le prouver ! (à supposer que la prémisse "la fonction exponentielle croît de plus en plus vite" ait été clarifiée et démontrée, ce qui n'est pas le cas !)

Et pour ça ? Je veux bien le concevoir, mais je ne vois pas de contre exemple ...


Encore merci

[Nightmare]

La question est : Comment traduire mathématique qu'une fonction croît de plus en plus vite?

[chewie]

Sa dérivée est croissante ?

[Nightmare]

D'accord, donc tu sais que la dérivée de exp est croissante, or comme elle est sa propre dérivée, que exp est croissante... On tourne un peu en rond pour conclure non?

[chewie]

Et ben, si sa dérivée est croissante, la fonction croit de plus en plus, et n'est donc pas majorée ...

Par exemple, la fonction carrée a pour dérivée , qui est croissante : on voit bien que la fonction carrée croit de plus en plus.

Au contraire, une fonction majorée ms strictement croissante (ou décroissante) aura sa dérivée qui tendra vers 0 :

Par exemple, la fonction inverse qui a pour dérivée est minorée : sa dérivée tend vers 0.

Enfin, ce ne sont que des exemples, j'attends juste le contre exemple me montrant que j'ai faux ...

[Nightmare]

Ce que tu as dit n'est pas faux mais ne permet pas de conclure, tout ce que tu utilises ce sont des propriétés que tu admets comme évidente et ça ne forme donc aucune démonstration.