Intégrale de Poisson

[coco7513]

Bonjour, je sèche depuis un moment sur un résultat :

Soit Pn(r)= Produit de k=1 à n de (1-2rcos(kPi/n)+r^2) avec n dans N* et r dans R.

J'ai réussi à établir que Pn(r) = [(r+1)/(r-1)] * (r^(2n)-1) pour r différent de 1.

Mais je n'arrive pas à montrer que Pn(1)=4n. Pour établir cette dernière égalité il faut "utiliser le taux de variation de la fonction qui à r associe (r^(2n)-1) /(r-1) en 1".

Je sèche car je ne vois pas le rapport entre Pn(1) et le taux de variation de cette fonction...

Merci d'avance pour votre réponse.

[Ben314]

Salut,
Si c'est exactement ça l'indic. de l'exercice, c'est un peu foireux . . . :
Quand r tend vers 1, le truc qui fait c..., c'est la division par r-1 et c'est plutôt lui qu'il faut "mettre de coté", donc écrire que Pn(r) = Q(r)/(r-1) où la fonction Q est parfaitement définie en r=1 et en plus, elle vaut 0 en r=1 (et c'est d'ailleurs pour ça qu'il y a indétermination).
Donc on peut écrire Pn(r) = (Q(r)-Q(1))/(r-1) qui est un taux de variation donc qui tend vers Q'(1) lorsque r tend vers 1.
Et cette "astuce" consistant, dans une limite indéterminée 0/0 à voir un taux de variation est en fait un grand grand classique qui peut même s'énoncer de façon générale : c'est la Règle de l'Hôpital

Et sinon, pour ce cas particulier, on pourrait aussi écrire que

(somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison )
ce qui permet aussi de trouver la limite du rapport lorsque r tend vers 1.

[coco7513]

Ah oui merci beaucoup je comprend mieux maintenant ! (effectivement erreur dans l'indication...)