Nombre premiers

[fpaco]

Bonjour je bloque sur cette exo:
soient deux entiers x et y tel que x-y=2
Montrer que les entier x^4 + 1 et y^4+1 ne sont pas premiers entre eux .

en sachant que x^4+1 = ( x^2+2x+2 ) ( x^2 -2x+2 ) et que les nombres x^4+1 et y^4+1 ne sont pas premiers

Merci de votre aide .

[lyceen95]

A priori, sans certitude que ça aboutisse, je regarderais ce qui se passe quand x et y sont pairs, et quand ils sont tous les 2 impairs.

[hdci]

en sachant que x^4+1 = ( x^2+2x+2 ) ( x^2 -2x+2 )

Etes-vous vraiment sûr ?

[Sa Majesté]

en sachant que x^4+1 = ( x^2+2x+2 ) ( x^2 -2x+2 )

Non, ça fait x^4+4
Avec x^4+1 et y^4+1, ça ne marche pas, par exemple x=4 et y=2, x^4+1=257 et y^4+1=17
Utilise le fait que y^4+4 = ( y^2+2y+2 ) ( y^2 -2y+2 ) et que y=x-2

[fpaco]

Vous avez raison, c'est bien x^4+4. il y a une erreur dans l'énoncé.Désolé.

Sinon voici ce qu j'ai fait :

On a x^4+4 = ( x^2+2x+2 ) ( x^2 -2x+2 )
Or x=y-2
Donc x^4+4 = ( y^2+6y+10 ) ( y^2 -2y+2 )
Et y^4+4 = ( y^2+2y+2 ) ( y^2 -2y+2 )
On remarque que ces deux nombres ont un facteur commun.
En fait la il faudrait montrer que ce facteur est différent de 1

Est ce que on peut simplement dire que comme ce ne sont pas des nombres premiers ce facteur est différent de 1 ?
merci de votre aide

[mathelot]

bjr,
comme y-x=2,