Inégalité sur des complexes

[Chab]

Bonsoir,
Dans le cadre d'un exercice sur les séries de Dirichlet on me demande de démontrer l'inégalité suivante :
Soit tel que , soient a et b deux réels tels que a<b


Et je n'arrive à trouver une démonstration satisfaisante. C'est sûrement tout bête mais je bloque... Merci d'avance pour toute piste

[lyceen95]

Il est tard, trop tard pour vraiment réfléchir.
Si l'heure était plus raisonnable, je regarderais ce que se passe sur les cas 'limites' :
- quand z est un réel, que deviennent ces différentes expressions.
- quand z est un imaginaire pur ...
Par ailleurs, avec un changement de variable, je me limiterais au cas b=1 (si on le démontre pour b=1, c'est fini, c'est démontré).
Peut-être que le cas a=1 est plus simple, pas sûr.

En écrivant ?

[Chab]

Le cas z imaginaire pure va être compliqué vu que Re(z) > 0
Même avec les cas limite comme tu dis je n'arrive pas à faire sortir le |z|/Re(z) dans l'inégalité...

[mathelot]

bonsoir,
on a
pour tout z.

d'autre part, on connait l'inégalité des accroissements finis.