Problème d'algèbre

[ParpaingLiquide]

Bonjour à tous,

Je suis en train de faire une annale de concours et y'a un petit point que je ne comprends pas. Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie, et f un endomorphisme de E.

Si on pose g, la restriction de f à Im(f), pourquoi Ker(g) = Ker(f|Imf) = {x∈Im(f) / f(x)=0 } = Im(f)∩Ker(f) ?

C'est sur les deux dernières égalités que j'ai un problème. On ne devrait pas en toute rigueur avoir Ker(g) = {x∈Im(f) / f|Im(f)(x)=0 } et d'où sort la dernière expression ?

Merci d'avance !

[Mateo_13]

Bonjour,



Ton expression Ker(g) = {x∈Im(f) / f|Im(f)(x)=0 } est juste, mais redondante,
car si x∈Im(f) alors f(x) et f|Im(f)(x) sont égaux, donc Ker(g) = {x∈Im(f) / f(x)=0 } est aussi juste.

Sur le diagramme de Venn, tu vois qu'il n'y a pas obligatoirement d'inclusion entre et ,
donc si on restreint à Im(f), on démontre que .

Pour démontrer l'égalité entre deux ensembles, on procède par double inclusion,
on part d'un élément de l'un et on démontre qu'il est dans l'autre.

Cordialement,

[ParpaingLiquide]

Merci beaucoup pour ta réponse !