Équation différentielle non linéaire

[LaThermique]

Bonjour,

Je cherche à résoudre un problème de thermique décrit par l'équation différentielle suivante :

Y'(t) = A * Y(t)^4 + B oú A et B sont des constantes

Les conditions aux limites sont les suivantes:
Y(0) = Y0 ; Y'(0) = 0

J'ai essayé avec l'équation de Bernoulli mais malheureusement je n'y suis pas parvenu et je ne suis même pas certain qu'elle soit applicable lorsqu'il y a une constante isolée comme c'est le cas ici avec B.

Quelqu'un pourrait-il m'eclairer ?

Merci d'avance !

Corentin

[tournesol]

Ton equation est à variables séparables et se résout en intégrant
Il suffit de décomposer en éléments simples .

[LaThermique]

Bonjour Tournesol et merci pour l'aide !

J'ai suivi tes conseils, j'ai commencé par faire le changement de variable Y=y^2 pour me ramener à un polynôme de 2nd degré.
J'ai trouvé le delta (positif) puis les racines réelles x1 et x2. Ensuite j'ai factorisé le polynôme:


Puis je suis repassé sur la variable y^2 et j'ai trouvé une factorisation supplémentaire:


Le polynôme (y^2-x2) a un discriminant négatif et est donc non factorisable sur R.

J'ai donc effectué la décomposition en éléments simples suivante:



J'ai trouvé les valeurs de K1, K2, K3, K4.

Je me retrouve cependant dans une impasse, je ne sais pas vraiment comment partir pour résoudre cette équation différentielle:



Merci encore !
Corentin

[tournesol]

Tu devrais nous donner tes constantes A et B afin que nous puissions vérifier .

[LaThermique]

Bonjour Tournesol !

Voici les constantes:
A = -5.9E-13
B = 1.52E-10

Je trouve x1 = -x2 = 16

Corentin

[tournesol]

Tes conditions initiales posent de sérieux pbs .
Ton équa diff est avec les CI et
En reportant dans l'équa diff , on obtient
Ton équation devient
Si l'équation est équivalente à sur tout intervalle sur lequel y ne s'annule pas . Elle s'intègre en
Vrai aussi bien sur ]-1;0[ que sur ]0;1[ et on obtient une absurdité en faisant tendre x vers 0 .
La seule solution définie au voisinage de 0 est la fonction nulle .
Si , alors au voisinage de 0 y' est équivalent à
Cette équation s'intègre en et tes CI ne sont vérifiées que si k=0 .
Donc la seule solution définie au voisinage de 0 est la fonction constante égale à .
Cette conclusion s'applique aussi dans le cas où

Enfin les solutions non constantes de ton équa diff vérifient

avec
En posant et k' une autre constante , on obtient