j'ai un exercice d'arithmétique que je n'arrive pas à le résoudre complètement en effet je me trouve bloquée dans les questions 1)c/d/e/ 2) 3)c/
Voici l'exercice et merci d'avance
1)soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3.
On considère l’ensemble A = {1 ; 2 ; ... ; p −1 } des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p.
Soit a un élément de A
a/Vérifier que : a^p-1≡1[p].
b/ On note r le reste dans la division euclidienne de a par p, Démontrer que r est l’unique solution dans A.
de l’équation ax≡ 1[ p ].
c/résoudre dans A l'équation x^2≡1[p].
d/montrer que (p-2)!≡1[p].
e/en déduire que 1+ (p-1)!≡0[p].
2)montrer que pour tout entier p>=3, si 1+ (p-1)!≡0[p] alors p est premier.
3)soit n un entier supérieur ou égale à 3.
a/vérifier que [(n+1)^5-1]/n=n^4+5n^3+10n^2+10n+5.
b/en déduire que si 1+n!= (n+1)^5 alors (n-1)!≡5[n].
c/ existe-t-il un nombre premier n supérieur ou égale à 3 tel que 1+n!= (n+1)^5?
