Suite géométrique

[Tar10]

Bonjour, je souhaiterais avoir de l’aide pour la question b)

Une espèce protégée d’oiseaux niché sur une île. On a constaté que sa pop. diminue de 10% chaque année. Une association tente de limiter cette diminution en introduisant sur l’île 100 nouveaux oiseaux chaque année. Fin 2018, on recensait 1600 oiseaux. On note U(n) le nbr. d’oiseaux à la fin de l’année 2018+n.
On a alors U(0) = 1600 et pour tout entier naturel n, U(n+1) = 0,9U(n)+100.
a) Soit (V(n)) la suite définie pour tout entier naturel n par V(n) = U(n)-1000.
Montrer que V(n) est géométrique de raison 0,9.
b) En déduire l’expression de V(n) en fonction de n puis de U(n) en fonction de n.

Voici ce que j’ai déjà fait :

a) V(n+1) = Vn *0,9

V(n+1) = V(n+1) -1000
=0,9Un+100-1000
=0,9Un-900
Vn= Un -1000
Un= Vn+1000
V(n+1) = 0,9( Vn + 1000) -900
=0,9 Vn +900-900
V(n+1) = 0,9 Vn

b) Un = U(0) * q^n = 1600*0,9^n

Et pour Vn je n’arrive pas à déterminer...

Merci d’avance pour votre aide.

[titine]

b) Un = U(0) * q^n = 1600*0,9^n

Et pour Vn je n’arrive pas à déterminer...

Merci d’avance pour votre aide.

Non !
C'est la suite (Vn) qui est une suite géométrique donc c'est Vn = V0 * q^n
q=0,9
On calcule V0 : on a V(n) = U(n)-1000 Donc V0 = U0 - 1000 = 600
Donc V(n) = 600*0,9^n

Puis, pour U(n) :
V(n) = U(n)-1000
Donc U(n) = U(n)+1000
Donc U(n) = 600*0,9^n + 1000

La suite (Un) n'est pas une suite géométrique donc on n'a pas U(n) = U0*q^n

[Tar10]

Merci beaucoup pour votre aide !

Juste c’est bien U(n) = V(n) + 1000 et non pas U(n) = U(n) + 1000

[titine]

Oui, oui, bien sûr ! Pardon.