Fonction exponentielle : position d'une tangente

[Euskadi64]

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour la semaine prochaine, et une question me pose problème.
On me donne une fonction qui est et le point C d'abscisse 1.
L'équation de la tangente T à au point C est .
La question est la suivante : "Justifier que l'étude de la position relative de et T revient à déterminer le signe de (x-1)g(x), où g est la fonction définie sur R par ".
J'ai donc d'abord essayé de développer f(x)-T puis (x-1)g(x) pour voir si les deux fonction étaient semblables mais j'obtient ceci :





Les deux fonctions sont différentes uniquement au niveau de l'exponentielle. Je ne sais pas quoi faire de ces résultats et surtout quoi dire.
Merci pour vos réponses.

[mathelot]

Bonjour,
ton calcul de la dérivée f' est sans doute erroné.
Pour simplifier le calcul de f' , on peut mettre "e" en facteur et utiliser
où u est une fonction dérivable.

l'équation de la tangente est


notons que est un multiple de (x-1), on peut donc factoriser (x-1) dans f(x)-t(x)
où t(x) est l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse x

[Euskadi64]

Je viens de me rendre compte que sur mon premier post, j'ai mis f(x)=... au lieu de f(x)-T (je viens de le modifier).

Effectivement le calcul de ma dérivée était faux, c'est pour cela que j'obtenait [lat]-\frac{3x}{e} + \frac{3}{e}[/tex] comme équation de tangente.
Ainsi avec la bonne équation, j'obtiens et il ne me reste plus qu'a multiplier le tout par "e" pour avoir finalement (x-1)g(x)=f(x)-T.
Merci beaucoup pour votre aide.

[mathelot]

pour avoir finalement (x-1)g(x)=f(x)-T.
.

en tenant compte du facteur "e" , on a :

[Euskadi64]

Effectivement, mais on peut écrire que .
Puisque la question est "déterminer le signe" peut-on dire que, puisque e>0, le signe ne dépend de ce dernier? Est-ce correct?

[mathelot]

oui, c'est correct. Bonne soirée.

[Euskadi64]

Merci beaucoup, bonne soirée à vous aussi.