-Restitution Organisée des Connaissances
On suppose connus les résultats liés à la dérivabilité de v définie par v (x) = u (ax+b) où a est un réel non
nul, b un réel et u une fonction dérivable ainsi que les résultats suivants relatifs à la fonction exponentielle.
a. La fonction exp est dérivable sur R et vérifie exp’ = exp.
b. exp (0) = 1.
3. On considère les fonctions notées ch et sh définies pour tout réel x par :
sh(x) =1/2(e^x-e^-x) et ch(x)=1/2(e^x+e^-x)
a. Montrer que les fonctions sh et ch sont dérivables et déterminer leurs fonctions dérivées.
b. Montrer que pour tout réel x, ch2(x )−sh2(x )=1.
c. Montrer que pour tous a, b de R, ch (a+b) = ch (a) ch (b) + sh (a) sh (b).
L'autre question est: lim(xe^x/(e^x)+1) x-->+inf
J'ai déjà fait la b et c:
b)Pour tout x de R, ch² (x) -sh² (x)
= (e(x)+e(-x)^2/4-e(x)-e(-x)^2)/4
= (e(2x)+2+e(-2x)/4-e(2x)-2+e(-2x))/4
= (e(2x)+2+e(-2x)-e(2x)+2-e(-2x))/4
=4/4
=1
Effectivement ch²(x) -sh² (x)=1
c)Pour tout réel a et b, ch(a)ch(b) = e(a) + e(-a) e(b) + e(-b) / 4
= (e(a+b) + e(-a+b) + e(a-b) + e(-a-b)) /4
Et sh(a) sh(b) = e(a) - e(-a) e(b) - e(-b) /4
=( e(a+b) - e(-a+b) - e(a-b) + e(-a-b) )/4
Ainsi par addition ch(a) ch(b) + sh(a )sh(b )
= (e(a+b) + e(-a+b) + e(a-b) + e(-a-b) + e(a+b) - e(-a+b) - e(a-b) + e(-a-b)) /4
= (2e (a+b) + 2 e (-a-b) )/4
=( 2e (a+b) + e(-a-b) )/4
= (e(a+b) + e(-a-b)) /2
Or ch(a+b)= (e(a+b)-e-(a+b))/2
=(e(a+b) + e(-a-b)) /2
Donc on a bien ch(a+b)= ch(a) ch(b) + sh(a )sh(b )
J'ai juste besoin d'aide pour la a) et la limite.
PLEASE HELP
