Limite de suite

[Audrey01]

Bonsoir j’aurais besoin de confirmation pour ma réponse à la dernière question de l’exercice

https://fr-static.z-dn.net/files/d73/7c ... a2e54.jpeg

j’ai isolé wn en divisant des deux autres côtés par (n+1)^2
Les numérateurs et dénominateurs de chaque fraction tendent vers +l’infini
Par quotient la limite de chaque fraction est de forme indéterminée donc d’après le théorème des gendarmes il en est de même pour wn est ce correct ?

[Lostounet]

Bonsoir j’aurais besoin de confirmation pour ma réponse à la dernière question de l’exercice

https://fr-static.z-dn.net/files/d73/7c ... a2e54.jpeg

j’ai isolé wn en divisant des deux autres côtés par (n+1)^2
Les numérateurs et dénominateurs de chaque fraction tendent vers +l’infini
Par quotient la limite de chaque fraction est de forme indéterminée donc d’après le théorème des gendarmes il en est de même pour wn est ce correct ?

Salut,
C'est un bon début de diviser tout par (n+1)^2 mais ta conclusion est fausse.

Quand tu vois une forme indéterminée, il faut lever l'indétermination !
Par exemple n^2/(n+1)^2 tu peux développer en bas le (n+1)^2 = n^2+2n+1

Ensuite tu peux prendre n^2 en facteur en haut et en bas tu trouves
1/(1+2/n +1/n^2)

Donc la limite vaut 1.

Idem pour le membre de droite.

Le théorème des gendarmes ne s'applique que si tu as trouvé la valeur de la limite des deux suites qui vont "coincer" la suite du milieu.

Il ne faut pas confondre forme indéterminée et "pas de limite".

[Audrey01]

Comment vous êtes passés de la factorisation à la limite = 1 ? La limite de n^2 est +l’infini
Mais comment vous avez fait pour trouvé la limite de l’autre partie ?

[Audrey01]

C’est bon en fait j’ai compris 2/n tend vers 0 et (1/n^2) aussi par somme (2/n) + (1/n)^2 + 1 tend vers 1

[Audrey01]

Mais si n^2 tend vers + l’infini même si l’autre partie tend vers 1 par produit les deux tendent vers + l’infini non ?

[Lostounet]

Mais si n^2 tend vers + l’infini même si l’autre partie tend vers 1 par produit les deux tendent vers + l’infini non ?

Je t'explique autrement:

Vers quoi tend la fraction 4/n (par exemple) ?
En fait 4 ne bouge pas et n tend vers +l'infini. Cela veut dire que 4/n va devenir de plus en plus petit et tendre vers 0.

Prenons un autre exemple: vers quoi tend la fraction
2n/n^3 ?

2n tend vers +l'infini et en même temps n^3 aussi tend vers l'infini. C'est une forme indeterminée: cela veut dire qu'on ne peut pas deviner à l'oeil nu la limite.

Pour calculer cette limite il faut constater que certes 2n et n^3 tendent vers l'infini mais n^3 va devenir grand beaucoup plus vite que 2n.
Donc à la fin c'est n^3 qui va gagner et la fraction
2n/n^3 va tendre vers zéro.

Si on voulait le prouver par le calcul, on peut simplifier la fraction par n:
2n/n^3 = 2/n^2

La fraction de droite n'est plus une forme indéterminée: en simplifiant la fraction on a enlevé l'indétermination.


Ici tu dois calculer la limite de
n^2/(n+1)^2 donc de n^2/(n^2+2n+1)

Certes n^2 et (n^2+2n +1) tendent toutes les deux vers l'infini mais on peut utiliser la technique de simplification utilisée plus haut. On veut savoir qui est le plus rapide à tendre vers l'infini entre les deux.

On prend le terme de degré le plus grand en facteur.
La fraction est égale à:
n^2/(n^2(1+2/n+1/n^2)

En simplifiant par n^2:
1/(1+2/n+1/n^2)

Cette fraction nous permet de conclure sur la limite car on a pu supprimer l'indétermination.
Le numérateur tend vers 1.
Le dénominateur tend vers 1+0+0=1

Donc la fraction tend vers 1 !
En fait n^2 et (n+1)^2 tendent vers l'infini à la même vitesse !