Vitesse de convergence d'une suite

[audreyg]

Bonjour,
Je bloque actuellement sur la dernière question d'un DM bien que j'ai une idée de la réponse je ne pense pas que mon raisonnement soit juste. Si quelqu'un peut m'aiguiller je suis preneuse!

Je dois déduire la vitesse de convergence de la suite Sn vers A sachant que A est un réel et que:
|A - Sn| < 2/n
Selon moi: quand n tend vers l'infini, 2/n tend vers 0 donc A-Sn tend vers 0, ce qui signifie que Sn converge vers A. Ainsi Sn converge vers A à la vitesse 1/n.

Merci d'avance si vous avez une idée pour étoffer mon raisonnement.
Audrey

[aviateur]

Bonjour
Pour faire simple donner la vitesse de convergence d'une suite consiste à préciser si tend vers A plus ou moins vite.
D'abord c'est important de le savoir car dans la pratique beaucoup de grandeurs ne sont pas calculables exactement mais sont approchées par des suites.
Comme ici si on ne connait pas A, on prendra S_n comme valeur approchée de A avec n assez grand.
L'erreur d'approximation est |A-S_n| est majorée par 1/n.
Cela veut dire que si on veut une précision de 10^(-10) il faudra prendre n=10^10. Ce qui est énorme.
Même pour 10^^ (-3) il faut n=1000. C'est beaucoup.
Autrement dit ici on peut dire sans aucun doute que la convergence est lente.

[audreyg]

Merci beaucoup!
Lorsque l’on parle d’erreur c’est l'erreur commise en prenant Sn comme valeur approchée A quand n est grand.
Dans ce cas j’ai du mal à faire le lien avec la vitesse.. c’est une notion que nous n’avons pas encore vu en cours.

Audrey

[aviateur]

Si est une valeur approche de A. L'erreur c'est ou bien (on enlève le signe).
Si la convergence est lente comme je l'ai expliqué au dessus. Par exemple il faut n=1000 (donc beaucoup de calculs et de temps ) pour une précision de 10^(-3)
Mais si on avait eu suffit pour une même précision. La convergence est + rapide.

[pascal16]

|A - Sn| < 2/n

on a une vitesse minimale de convergence

si par contre il n'y a aucun nombre k tel |A - Sn| < k/n², alors la convergence est lente.

[tournesol]

Minimale est inapproprié car qu'est qui est plus grand que 2/n , c'est 3/n ...
Tu peux avoir aussi |A-Sn|<1/ln n , ou encore |A-Sn|<1/ln(ln n) , etc .
Remarque : 1/n! <2/n , mail la convergence de 1/n! n'est pas lente ...

[aviateur]

Je pense qu'il ne faut pas aller plus loin sinon que de faire un cours sur les différents types de convergence.
Donner la notion + ou moins rapide est suffisant pour @audrey.
Sinon on risque de dire des choses avec un vocabulaire incorrect et c'est pas très bon en mathématiques.