Intégrales

[Palomastoze]

Bonjour, je ne réussi pas à répondre à la question 3 de cet exercice, j'ai cependant essayé avec une intégration par partie en posant u = f(x) et v'=1/x mais je n'arrive pas à simplifier pour obtenir que la limite est égal à f(0)ln(c).
Pouvez vous m'indiquer si c'est bien cela qu'il faudrait faire ou utiliser les questions précédentes etc..
Merci !

L'énoncé :

[pascal16]

f(x)/x = [f(x)-f(0)]/x + f(0)/x

à la louche la première partie est l'évaluation de k*f'(0) quand k tends vers 0
la seconde, ce qu'on cherche

[Ben314]

Salut,
La question 3), il faut évidement faire la même chose qu'à la question 2), c'est à dire utiliser la continuité de en 0 pour montrer que puis calculer .

P.S. (@pascal) Et, non, contrairement aux apparences, l'intégrale en question n'a rien à voir avec f'(0), ni même avec la dérivabilité de f en 0 : seule la continuité (en 0) est utile.

[Palomastoze]

Et bien absolument, je n'avais pas fait le lien avec la question précédente :p
Merci beaucoup !

[Palomastoze]

Je me demandais aussi pour la question 2 et accessoirement la question 3, s'il suffisait de dire qu'étant donné que et que la fonction dans l'intégrale est égal à avec , alors donc l’intégrale de la question 2 est bien égale à 0 ( =0 ) ?

[pascal16]

P.S. (@pascal) Et, non, contrairement aux apparences, l'intégrale en question n'a rien à voir avec f'(0), ni même avec la dérivabilité de f en 0 : seule la continuité (en 0) est utile.

tout à fait en y regardant de plus près, et un simple "borné " ne suffit pas pour tendre vers 0, il faut utiliser la continuité.

[Palomastoze]

Je dois donc seulement dire, avant mon explication qu’étant donné que f(x) est continue alors l’integrale (de la question 2) est localement intégrable, ou je dois vraiment utiliser la continuité d’une autre façon pour montrer que la limite de la première intégrale de la question 2 vaut 0?

[Ben314]

Je me demandais aussi pour la question 2 et accessoirement la question 3, s'il suffisait de dire qu'étant donné que et que la fonction dans l'intégrale est égal à avec , alors donc l’intégrale de la question 2 est bien égale à 0 ( =0 ) ?

Non, ça ne risque pas d'être suffisant comme argument : certes le truc que tu intègre, à savoir tend vers 0 lorsque sauf que la largeur de l'intervalle d'intégration, à savoir tend vers lorsque donc ton intégrale, c'est une forme indéterminée.
Et pour la question 3., c'est pas mieux vu que tu sait pas ce que ça vaut et aussi bien, ça tend vers +oo (par exemple si au voisinage de 0)

Et dans les deux cas (du 2. et du 3.) je pense pas que tu puisse t'en sortir sans revenir à la définition de ce qu'est une limite.

[pascal16]

en regardant si "borné" suffisait et en testant √x pour sa dérivée infinie en 0

proche de 0 f(x)-f(0) borné par m et M
par croissance de l'intégrale, on borne par ∫m/x et ∫M/x
Mais le bornes vont de a à ca donc ∫m/x = mln(c)
le fait que l’intégrale existe vient donc du choix des bornes

mln(c) ≤ ≤ Mln(c)

la continuité assure m aussi proche que l'on veut de M, mais avec une rédaction en 2 temps pas très jojo.

[Palomastoze]

D’accord je vois bien le fait de borner par m et M mais donc lorsque l’on trouve que l’integrale est bornée par mLn(c) et nLn(c), par la continuité on peut donc à partir de ce moment dire que l’integrale tend vers 0 quand a -> 0 ?

[pascal16]

attention m et M dépendent du voisinage de 0 choisi, il faut donc bien jouer sur les passages à la limite.

façon 1 : on part de la déf de la continuité avec un epsilon
-> ça te donne un éta
-> tu peux alors encadrer ton intégrale avec ton epsilon (donc choisir a en fonction de epsilon et monter qu'il existe)
-> et ensuite tu fais tendre epsilon vers 0

c'est moins joli que de partir de a

[Ben314]

Pour moi, ce type d'exercice, c'est plus ou moins le B-A-BA de l'utilisation des définitions des limites (1).
Et comme c'est du "pour débutant", j'aurais tendance à présenter une preuve extrêmement détaillée pour que tout soit bien clair. Pour la question 2., ça donnerais :

On veut montrer que la limite lorsque de est nulle, c'est à dire que :
.

On choisi donc un .
Par hypothèse, on a , donc il existe tel que, pour , on ait ou pour le moment, on ne sait pas trop ce qu'on va mettre à la place du mais on sait qu'on peut mettre n'importe quoi de >0 dépendant de ou tout autre chose défini précédement, mais pas de par exemple
Si et sont tout les deux plus grand que , c'est à dire si alors tout les entre et sont donc ils vérifient tous et on a

A condition d'avoir pris plus haut en considérant "à part" le cas où qui de toute façon est sans intérêt vu que dans ce cas là on a pour tout .
On a donc montré qu'il existait un , à savoir , tel que, pour tout , on ait . Et comme le choisi au départ est quelconque, on a bien démontré le résultat voulu.

(1) Dans le sens que c'est le type d'exercice le plus simple possible où on montre quelque chose de "pas totalement évident" (intuitivement parlant) à l'aide de la définition des limites.
(2) Attention, si , on a donc il faut garder une valeur absolue à droite de l'inégalité. Une façon peut-être plus prudente de rédiger est de distinguer deux cas selon que ou pas vu que l'implication n'est valable que si mais que l'inégalité est "dans l'autre sens" si l'intégrale est écrite "à l'envers" c'est à dire avec .

[Palomastoze]

Je vois clair maintenant ! Merci beaucoup à vous deux pour votre aide !