Application linéaire de R3

[Stevenson123]

Bonjour,

Je me permets un nouveau sujet par rapport à un autre exercice sur lequel je bloque :

Soit l'application linéaire de dont la matrice dans la base canonique est A = .

(1) Exprimer en fonction de. En déduire la matrice de f dans la base .

Pour cette question je pense que :




comment puis-je trouver la matrice dans la base ?

c'est tout ce que j'arrive à faire. est-ce correct ?

(2) Déterminer une matrice inversible de taille 3 x 3, telle que , avec N =

(3) Calculer

(4) Donner l'expression de pour tout nombre entier positif

[pascal16]

a priori, v1, v2 et v3 ont été donnés
tu reprends juste les vecteurs de la base canonique.

[Stevenson123]

Exact.

, ,

Donc pour la question (1) ça serait plutôt :







Du coup la matrice de f dans la base serait : ?

[Stevenson123]

Pour la question (3) du coup j'ai trouvé ceci :

qui est donc la matrice de passage de la base si je dis pas de bêtise ?

Je cherche , je trouve ceci :

Je vérifie donc l'égalité :



est donc là je retombe bien sur A.

Pour la question (4) je dirai du coup que pour tout positif.

Voilà je pense avoir réussi du coup j'attends votre avis et confirmation.

Merci d'avance

[infernaleur]

Exact.

, ,

Donc pour la question (1) ça serait plutôt :







Du coup la matrice de f dans la base serait : ?

Salut,
quand on te donnes une application linéaire f et une base et qu'on te demandes d'écrire la matrice de f dans la base B, la méthode est la suivante :
(1) on calcule f(u) f(v) et f(w)
(2) on exprime f(u) f(v) et f(w) en fonction de u,v et w. C'est-à-dire qu'on doit trouver des trucs de la forme



(3) on peut écrire la matrice de ton application linéaire f dans ta base B grâce a cette décomposition. On a donc:


Bref en revenant a ton exo, toi tu as calculé f(v1) tu trouves donc la première colonne de ta matrice dans la base (v1,v2,v3) sera constitué que de zéros.
Tu fais pareil pour f(v2) et f(v3) et tu auras ta matrice.

[De plus tu n'avais pas répondu a une partie de la première question qui disait d'exprimer EN FONCTION DE donc ça risquait pas d'être juste ....]

[infernaleur]

Pour la question (3) du coup j'ai trouvé ceci :

qui est donc la matrice de passage de la base si je dis pas de bêtise ?

Je cherche , je trouve ceci :

Je vérifie donc l'égalité :



est donc là je retombe bien sur A.

Pour la question (4) je dirai du coup que pour tout positif.

Voilà je pense avoir réussi du coup j'attends votre avis et confirmation.

Merci d'avance

La question 3) et 4) ok mais pour la question 4) il faudrait prouver que par une petite récurrence (mais c'est effectivement juste).

[Stevenson123]

Merci pour ta précieuse aide.

Donc si je refais la question (1) comme tu me le dis ça donnerait ça :










Donc

La question (1) est-elle donc juste et complète maintenant ?

[Kolis]

Non !
est faux.
Tu as tout simplement .

[pascal16]

la matrice de f dans la base (v1,v2,v3) ne comporte que 2 fois le nombre 1, le reste, c'est 0.

C'est la matrice N donnée !

P et P^-1 sont ok

perso, je vérifie toujours à la calculette P-1 A P et P A P-1 car des fois on a la matrice de l'ancienne base dans la nouvelle ou de la nouvelle dans l'ancienne suivant les exos et c'est facile de pas comprendre d'où vient l'erreur.





N² est assez simple comme matrice
N³ et toute puissance supérieure est archi simple

[Pseuda]

Donc

Bonjour,

Non, ça c'est la matrice de relativement aux bases et (base canonique), et non pas la matrice de dans la base , parce qu'en fait on a :



(et non pas ce que tu as écrit)

c'est-à-dire les vecteurs de exprimés à l'aide des vecteurs de .

[Stevenson123]

Merci pour vos réponses.

Si je reprends donc le message d'Infernaleur :

pour la question (1) je fais ceci :

Si vous pouvez me dire point par point ce qui est faux pour je m'y retrouve car c'est très confus avec tous les messages de tout le monde.


Je calcule ce que j'ai fais avec ceci :







Ensuite j'exprime en fonction de :



Mais du coup sortent d'où ? car je vois qu'ils forment une matrice identité ??

et donc déduire la matrice de f dans la base :

Donc là je reprends encore une fois le message d'Infernaleur qui me dit que

on peut écrire la matrice de de l'application linéaire f dans la base grâce a cette décomposition. On a donc:

ça donnerait donc ceci si je reprends ce que j'ai fais plus haut :

Je trouve la même matrice que j'avais donné en réponse du coup...

[infernaleur]

Merci pour vos réponses.

Si je reprends donc le message d'Infernaleur :

pour la question (1) je fais ceci :

Si vous pouvez me dire point par point ce qui est faux pour je m'y retrouve car c'est très confus avec tous les messages de tout le monde.


Je calcule ce que j'ai fais avec ceci :







Ensuite j'exprime en fonction de :

Jusque la tout est juste je suis ok

Mais du coup sortent d'où ? car je vois qu'ils forment une matrice identité ??

Ici tu as du t'embrouiller avec le message de Pseuda je pense, faire apparaitre e1,e2 et e3 ne sert a rien, comme tu l'as dit précédemment il faut exprimer en fonction de et c'est tout !
Donc on écrit juste :




et la matrice de f dans la base est :



(et tu peux maintenant remarquer la ressemblance avec la matrice N ^^)


[Si il y a une étape que tu ne comprend pas n'hésite pas ]

[Stevenson123]

tu trouves ceci :





car tu reprends les résultats que j'ai obtenu avec :







comme alors on trouve :

comme alors on trouve :

comme alors on trouve :

donc


Si on aurait trouver par exemple :









alors j'aurai eu :







donc

[infernaleur]

J’ai pas vérifié tes calculs pour f(v1) f(v2) et f(v3) mais sinon le raisonnement est juste.

[Pseuda]

Mais du coup sortent d'où ?

Bonjour,

est la base canonique de ,
c'est-à-dire , , .

Quand tu écris , c'est comme si tu écrivais .

[Pseuda]

Ici tu as du t'embrouiller avec le message de Pseuda je pense, faire apparaitre e1,e2 et e3 ne sert a rien

Je pense que ce n'est pas à toi d'en juger, chacun explique à sa façon, avec plus ou moins de succès.

Qu'en pense le principal intéressé ?

[Stevenson123]

Mais du coup sortent d'où ?

Bonjour,

est la base canonique de ,
c'est-à-dire , , .

Quand tu écris , c'est comme si tu écrivais .

J'avoue que tu m'embrouilles beaucoup à rajouter , , .

Surtout que leurs valeurs je ne sais pas d'où elles sortent même si je vois bien qu'elles forment une matrice diagonaliser (1,1,1). Et je ne vois pas non plus pourquoi on les utiliseraient. Sachant qu'on a démontrer que les vecteurs forment une base de et qu'on les utilises dans l'exercice je ne comprends pas donc pourquoi on devrait utiliser .

Ce qui m'importe surtout c'est que ma réponse finale aux questions soient correctes et claires. Sachant que je viens de commencer ce genre d'exercice il y a deux trois jours.

J'espère donc que ma réponse finale aux questions même si c'est avec des est juste. Je vous remercie beaucoup pour votre aide et votre patience. Heureusement que ce genre de forum existent encore avec autant d'investissement.

[Pseuda]

Bonjour Stevenson123,

Quand tu écris :

il faut que tu comprennes pourquoi c'est faux, et à quoi correspond l'écriture . Je ne suis pas sûre que tu aies compris.

[Pseuda]

Bref en revenant a ton exo, toi tu as calculé f(v1) tu trouves donc la première colonne de ta matrice dans la base (v1,v2,v3) sera constitué que de zéros.
Tu fais pareil pour f(v2) et f(v3) et tu auras ta matrice.

Si on applique cela à la lettre (ce qu'a fait @Stevenson123), c'est normal de se tromper.

[Stevenson123]

Bonjour Pseuda,

Du coup mes réponses finales sont tels juste comme j'ai expliqué à Infernaleur ?

Je peux proposer un second exercice très court pour m'expliquer si jamais mes réponses finales sont fausses ?



1)

2)

3) Si Pseuda tu peux me faire la question comme il faut que je puisse comprendre mes erreurs ? Je t'en remercie d'avance