Polynômes - Problème

[dalhfire]

Bonjour à tous,

Voilà je suis en Prépa Scientifique PCSI et j'éprouve quelques difficultés par rapport à ce problème qui m'est posé sur les Polynômes de Tchebychev de Première Espèce.

Voici l'énoncé :


Voila je n'arrive pas à trouver la réponse à la question 5. J'ai essayé de remplacer la fonction y par y = aX+b avec a,b les coefs du polynômes qui a un degré inférieur ou égal à 1. Mais je n'arrive pas à déterminer les conditions sur ces derniers.

Merci d'avance

Cordialement

Dalhfire

[Ben314]

Salut,
Ben, pourtant, y'a vraiment rien de difficile : si pour tout de ]-1,1[ alors (E) est vérifiée lorsque

c'est à dire
Ce qui équivaut à et (Un polynôme ne peut être nul sur tout un intervalle que si tout ces coeff. sont nuls vu que sinon il ne s’annulerait qu'en un nombre fini de valeurs)
Et comme ne peut pas être nul (avec entier), c'est que la seule solution est

[dalhfire]

D'accord c'est ce que j'avais remarqué également mais le résultat me paraissait surprenant

Sinon pour la question suivante la 6), mon idée était de partir de la somme :

et de la dérivée 2 fois

Ainsi j'injecte cette somme dans l'e.d. mais je n'arrive pas à déterminer le degré du polynome.

[Ben314]

Tu peut effectivement faire comme ça (tu sera plus ou moins obligé de le faire à la question suivante), mais pour le moment tu peut parfaitement rédiger en ne considérant que les termes dominant, c'est à dire en écrivant uniquement avec ; et tout ce qu'il y a dans le qui est de degré .

Et sinon, si tu as essayé avec avec un comme indice de fin de somme et sans préciser que le dernier coeff. est non nul, effectivement ça a pas du te mener bien loin. Surtout vu la réponse (à savoir que P doit être de degré 2n), il faut évidement prendre un polynôme de degré quelconque et pas de degré n (qui est déjà dans l'équation).

[dalhfire]

D'accord et donc si je ne considère que le terme dominant + les ...., au niveau de la rédaction ça ne dérange pas ?

[Ben314]

D'accord et donc si je ne considère que le terme dominant + les ...., au niveau de la rédaction ça ne dérange pas ?

Pourvu que tu écrive à un moment ou un autre que les points de suspensions désignes systématiquement les termes qui suivent le terme dominant, je vois pas pourquoi ça dérangerais.

Et si vraiment ça t’embête cette histoire de point de suspension, tu peut l'écrire en Français :
Soit (avec et ) le terme dominant de P(X).
Le terme dominant de est ,
celui de est ,
celui de est , . . .

Ou alors, tu invente un symbole style désigne le terme dominant d'un polynôme non nul :
Si avec et alors ; ; ; . . .

Perso, je trouve que c'est aussi bien avec des points de suspensions, mais chacun son truc.