Fonction / coordonnées

[Leperou]

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire, mais je ne vois pas comment commencer , une aide serait la bienvenue .

Voici l'énoncé : ( le k quand il est à côté d'une lettre , c'est pas multiplié, il est en indice un peu en dessous )

Soit k un entier naturel non nul. On pose pour tout réel x, fk (x)=x-2+k*e^(-x)
On note Tk la courbe représentative de la fonction f.

( je précise aussi qu'avec l'exo il y a une capture d'écran , un repère avec des courbes )

1. Conjecturer et montrer que toutes les courbes Tk admettent une même asymptote delta en +infini et préciser selon la và leur de k la position de Tk par rapport à delta

2. a) Étudier le sens de variations de fk et dresser son tableau de variation .
b) Préciser les coordonnées du point Ak de Tk correspondant au minimum de fk.
c) Montrer que lorsque k est un entier naturel non nul, les points Ak appartiennent à une droite fixe dont on donnera une équation .

En espérant un peu d'aide

[pascal16]

1) que pense-tu de l’asymptote ?
tu peux utiliser geogebra avec un paramètre ?
Comment l'expliques-tu ?

2) il faut dériver en pensant que k est fixe, c'est comme une constante.
avec la 1 et la limite en -oo, on sait que la fonction admet un minimum, elle est dérivable de dérivée continue, ça sera forcément en un point où la dérivée s'annule
on résout f'(x)=0

[Leperou]

Pour l'asymptote, toute les courbes se rejoignent et vont en +infini
Pour géogebra il faut faire plusieurs courbe non ?

[pascal16]

tu peux mettre un "curseur" qui te permet de faire varier en continue k ou tracer en effet plusieurs courbes.

[Leperou]

Je ne vois pas comment je peux répondre à la question 1 avec ceci

[pascal16]

fk (x)=x-2+k*e^(-x)
trace la courbe
la droite y=x-2
regarde ce qui se passe en +oo

[Leperou]

Je n'ai pas assez à géogebra, je ne suis pas chez moi et donc pas mon pc

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Soit la fonction définie sur par : avec

Si (la courbe représentative de cette fonction) admet une asymptote en ,
alors a pour équation réduite : avec et des nombres réels .

On a :

et

Tu peux calculer et conclure .

[Leperou]

C'est pour qu'elle question ceci ?

[Leperou]

Pour la 1, ça c'est bon ?
Grâce au logiciel, on peut montrer que toutes les courbes Tk admettent une même asymptote oblique Delta T: y = x-2 . Pour tout k la position de Tk est au dessus de Delta

[pascal16]

fk (x)=x-2+k*e^(-x)

faisons le cheminement par la pensée :

1) quand x est très grand, e^(-x) est vraiment très petit, donc seul le terme x-2 reste, c'est une asymptote (démontré au dessus)

2) (cas général pour s'entrainer) e^(-x) est petit et positif, k*e^(-x) est donc petit et du signe de k.
k>0 : la courbe est au dessus de y=x+2 car la fonction s'écrit "x+2+ qqchose de positif"
k<0 : la courbe est au dessus de y=x+2 car la fonction s'écrit "x+2 - qqchose de positif"
ici, k est entier naturel, donc positif, la courbe est au dessus de y=x+2

maintenant, go pour la dérivée

[Leperou]

Ce que vous avez écrit, comment je le rédige ducoup ?

[pascal16]

fk (x)=x-2+k*e^(-x)
on te demande de conjecturer, il fo faire simple et concis :

au voisinage de +oo, k*e^(-x) est très petit (négligeable) devant x+2.
y=x+2 semble être l'asymptote
e^(-x) est positif, on est au dessus x+2
de plus, plus k est grand, plus on est loin de x+2.

[Leperou]

D'acc merci
Le message qu'a écrit aymanemaysae, c'est pour quel question, et ça sert à quoi ?

[Leperou]

fk (x)=x-2+k*e^(-x)
on te demande de conjecturer, il fo faire simple et concis :

au voisinage de +oo, k*e^(-x) est très petit (négligeable) devant x+2.
y=x+2 semble être l'asymptote
e^(-x) est positif, on est au dessus x+2
de plus, plus k est grand, plus on est loin de x+2.

Il faut que je conjecture ça c'est ok , mais faut aussi que je montre ...

[Leperou]

Svp je dois rendre l'exercice demain ...

[pascal16]

fk (x)=x-2+k*e^(-x)

lim(x->oo) fk (x)-(x -2)=0

fini