Démonstration Ensemble

[Ainow]

Bonjour,
Je cherche à montrer que l'ensemble
{x ∈ Q+| x² < 2} n'admet pas de plus grand élément, même si cela me semble être logique je ne vois comment le démontrer

[aviateur]

Bonjour Tout dépend sur quelles connaissances tu te bases.
1. Il est connu que racine(2) n'est pas rationnel (OK?)
2. Entre 2 nombres réels distincts, il existe au moins un nombre rationnels (OK?)

[pascal16]

une façon de voir :
{x ∈ Q+| x² < 2} : posé comme ça, on peut le faire sans utiliser le fait que 2 n'est pas rationnel ni des notions de densité(qui peut être vu comme un simple développement décimal).
soit p le pge.
il faut montrer qu'il existe un nombre plus grand que p qui est rationnel et dont le carré soit <2
soit e= 2-p²

on va augmenter p pour que ça marche
(p+a)² = p²+2ap+a²
si on choisi a tel que 2ap+a² < e, on aura p²<(p+a)²<2
la suite Un=2p/n + 1/n² est une suite de rationnels strictement positifs tendant vers 0, donc on a l’existence de a.
p n'est pas le pge

{x ∈ Q+| x² ≤ 2} : il fat faire 2 cas :
p²=2 -> imp avec l’irrationalité de V2
p²<2 -> déjà fait

[Ainow]

Bonjour Tout dépend sur quelles connaissances tu te bases.
1. Il est connu que racine(2) n'est pas rationnel (OK?)
2. Entre 2 nombres réels distincts, il existe au moins un nombre rationnels (OK?)

dans le cadre de mon exo je travaille dans les rationnel, pour le 1) je suis ok mais pour le 2 ça me semble bizarre d'utiliser les réels alors que pour la question je suis dans les rationnel

une façon de voir :
{x ∈ Q+| x² < 2} : posé comme ça, on peut le faire sans utiliser le fait que 2 n'est pas rationnel ni des notions de densité(qui peut être vu comme un simple développement décimal).
soit p le pge.
il faut montrer qu'il existe un nombre plus grand que p qui est rationnel et dont le carré soit <2
soit e= 2-p²

on va augmenter p pour que ça marche
(p+a)² = p²+2ap+a²
si on choisi a tel que 2ap+a² < e, on aura p²<(p+a)²<2
la suite Un=2p/n + 1/n² est une suite de rationnels strictement positifs tendant vers 0, donc on a l’existence de a.
p n'est pas le pge

{x ∈ Q+| x² ≤ 2} : il fat faire 2 cas :
p²=2 -> imp avec l’irrationalité de V2
p²<2 -> déjà fait

J'ai pas compris d'où elle venait votre suite Un

[pascal16]

on choisi a tel que 2ap+a² < e, on aura p²<(p+a)²<2
il faut démontrer qu'un tel a rationnel existe.

revenir à une suite d'entier les la façon la plus simple que j'ai trouvé. Simple étant une manière qui arrive avant d'autres dans le programme de prépa où tu redémontres tout depuis "1 est le successeur de 0".

[Pseuda]

Bonjour,

C'est un exercice classique je pense, tu trouveras certainement la démonstration sur internet.

Sinon, on peut montrer que si x ∈ l'ensemble A={x ∈ Q+| x² < 2}, alors il existe n ∈ N tel que x+1/n ∈ A. Donc A n'a pas de plus grand élément.

En effet, (x+1/n) ∈ Q+ et (x+1/n)² < 2 ssi x²+2x/n + 1/n² <2. Il suffit de choisir n tel que x²+2x/n + 1/n < 2 (car 1/n² < 1/n), soit n > (2x+1)/(2-x²).

[Ainow]

Bonjour,

C'est un exercice classique je pense, tu trouveras certainement la démonstration sur internet.

Sinon, on peut montrer que si x ∈ l'ensemble A={x ∈ Q+| x² < 2}, alors il existe n ∈ N tel que (x+1/n)² ∈ A. Donc A n'a pas de plus grand élément.

En effet, (x+1/n) ∈ Q+ et (x+1/n)² < 2 ssi x²+2x/n + 1/n² <2. Il suffit de choisir n tel que x²+2x/n + 1/n < 2 (car 1/n² < 1/n), soit n > (2x+1)/(2-x²).

Ah d'accord je vois, merci à vous