Suite et fonction

[Norma]

Bonjour,

Je fais appel à vous cette fois-ci concernant un exercice qui imbrique suite et fonctions. J'ai du mal avec deux questions et je n'ai aucun exemple concret dans mon cours sur quoi me baser.

Soit f la fonction définie sur R par
On considère la suite Un définie par

Je peux donc déjà déduire que

On me demande de montrer que la suite est croissante. Est-ce que je dois d'abord déterminer si elle est géométrique ou arithmétique?

On me demande ensuite de montrer que pour n>1, Un est minorée et majorée. Est-ce qu'il me suffit de remplacer n par 1? ou de chercher Un>1 puisque je dois chercher selon mon cours et


Merci pour votre aide.

[Lostounet]

Bonjour Norma,

Je peux donc déjà déduire que

On me demande de montrer que la suite est croissante. Est-ce que je dois d'abord déterminer si elle est géométrique ou arithmétique?
[/tex]

On voit clairement que (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique. Une suite (Vn) est géométrique si le terme général est de la forme:
(avec q et V_0 deux nombres fixes)

Une suite (Wn) est arithmétique si le terme général est: (W0 et R deux nombres fixes).

Est-ce que (Un) est de l'une de ces deux formes?... Non

La méthode pour montrer qu'une suite est croissante, c'est de justifier que pour tout n,
est plus petite que , ie que et pour faire cela, on peut calculer et voir si on trouve un nombre positif. Si c'est le cas, alors donc

[Norma]

Je pense que c'est pas juste mais c'est ce qui m'est venu dans un premier temps:

[Lostounet]

Je suis un peu impressionné par la complexité de ce calcul qui ne comporte qu'une seule erreur (enfin je pense que tu as oublié de recopier les dénominateurs...)

L'erreur est ici:

(n + 1)^2 vaut n^2 + 2n + 1 et non pas
Par contre, tu t'es un peu compliqué la vie, voici un conseil: il faut toujours simplifier au maximum dès le départ les expressions.


Et donc:





Et ceci est toujours un nombre positif quel que soit n, non ?

Sinon, si on a un peu d'expérience, on peut aussi faire moins d'efforts:

On constate qu'aussi, f(n) s'écrit:


Ce qui signifie que
= qui est clairement un nombre positif car
n < n+1
donc 1/n > 1/(n+1) donc 1/n - 1/(n+1) >0


On peut aussi dresser les variations de la fonction f mais bon...

[pascal16]

On peut l'étudier en ne faisant qu'une ligne de calcul.


la limite est 1, elle est croissante et donc comprise en son premier terme et 1.

[Lostounet]

On peut l'étudier en ne faisant qu'une ligne de calcul.


la limite est 1, elle est croissante et donc comprise en son premier terme et 1.

Ouais mais bon, il faut faire le meilleur choix pédagogique face à l'interlocuteur/trice !
Et commencer par comprendre ce qu'est une suite croissante via la définition de croissance me semble un bon point de départ...

Passer à la forme canonique de l'homographie puis utiliser les variations des fonctions associées me semble "un stade au dessus"...

[pascal16]

J'ai du mal à comprendre pourquoi on part d'une fonction. De l'étude de la dérivée à la suite, c'est pas raccord avec la partie sur les fonctions homographiques. Un+1-Un fait faire du calcul, mais nous laisse sur notre faim.

[Norma]

En fait la question d'avant que j'avais pas mise me demandais de tracer le repere avec la courbe et d'etudier les variations de f... chose que j'ai ducoup faite mais je ne pensais pas que c'était lié donc je n'en ai pas parlé.

....

[Lostounet]

En fait la question d'avant que j'avais pas mise me demandais de tracer le repere avec la courbe et d'etudier les variations de f... chose que j'ai ducoup faite mais je ne pensais pas que c'était lié donc je n'en ai pas parlé.

....

Je ne pouvais quand même pas deviner tout un énoncé...

[Norma]

Non mais cette question là sur la variation ne m'a pas posé de problème. Et je pensais que c'était indépendant des deux autres questions. J'ai donc parlé que des autres questions .

[Lostounet]

Bref, tu as montré que f est croissante?

Dans ce cas, le reste est simple ! Si a < b, comme f est croissante, alors f(a) < f(b). En effet si a est un nombre plus petit que b, alors la valeur de f en a sera plus petite que la valeur de f en b.

Donc si on prend n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1) car f est croissante donc U(n) < U(n + 1) donc (Un) est croissante

[Norma]

Bref, tu as montré que f est croissante?

Dans ce cas, le reste est simple ! Si a < b, comme f est croissante, alors f(a) < f(b). En effet si a est un nombre plus petit que b, alors la valeur de f en a sera plus petite que la valeur de f en b.

Donc si on prend n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1) car f est croissante donc U(n) < U(n + 1) donc (Un) est croissante

J'essaye de rajouter dans mes posts depuis avant l'image de mon tableau de variation mais je n'y arrive pas.
http://hpics.li/2cb1f1e

[Lostounet]

Sans oublier la double barre pour la valeur interdite x = -1.

Heureusement que pour étudier la suite (Un), on a juste besoin de regarder les x positifs ie intervalle [0 ; + infini[. Pourquoi?

[pascal16]

soyons précis
n >=0, n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1) car f est strictement croissante sur R+ donc U(n) < U(n + 1)

[Norma]

Sans oublier la double barre pour la valeur interdite x = -1.

Heureusement que pour étudier la suite (Un), on a juste besoin de regarder les x positifs ie intervalle [0 ; + infini[. Pourquoi?

Bah si Un est définie par f(n) et que f(n) est croissante.. ben Un sera croissante puisque la fonction représente la suite?!

[Norma]

soyons précis
n >=0, n < n + 1, alors f(n) < f(n + 1) car f est strictement croissante sur R+ donc U(n) < U(n + 1)

Ok je vois ! Merci!

[Norma]

Pour le coté minorée/majorée sur quoi dois-je partir ducoup ?

[pascal16]

Un croissante est donc minorée par son premier terme et majorée par sa limite (qui existe ici) en +oo

[Norma]

Très bien. Merci !!!

[Tiruxa47]

Bonjour,
On peut voir que Un est majoré car n-1 < n+1 pour tout entier n, le numérateur est strictement inférieur au dénominateur, la fraction est donc strictement inférieure à 1.