Produit scalaire et hyperbole

[tigerfire]

Bonjour,


Soit A, B et C trois points de y = 1/x
Montrer avec le produit scalaire que l'orthocentre aussi.

[siger]

bonsoir


rien a dire sur la methode....
cependant on cherche 2 inconnues, donc il suffit de deux équations ( termes a mettre sur le denominateur abc) qui conduisent a l'equation de deux droites, et a leur intersection pour obtenir x puis y
une autre methode pour obtenir 2 droites est de calculer le coefficient directeur d'un cote ( m par exemple pour AB) pour avoir l'equation de AB puis d'ecrire l'equation de la perpendiculaire passant par C avec un coefficient directeur -1/m

une astuce ( peut etre ?) pour simplifier les calculs: poser des le depart y = 1/x
.......

[Lostounet]

Hello,

Pour poursuivre avec ta méthode, on constate qu'il suffit juste d'utiliser deux produits scalaires (en effet, deux perpendiculaires suffisent pour déterminer entièrement x et y, donc pas besoin des 3 produits juste 2).

N'oublions pas que les nombres a, b, et c sont fixes et que les inconnues sont x et y ! Si on se fie à tes calculs,
BC.AH=cx-ca-bx+ba+(y/c)-(1/ac)-(y/b)+(1/ab)=0
AC.BH= cx-cb-ax+ab+(y/c)-(1/cb)-(y/a)+(1/ab)=0.

Équivaut à:

x[c -b] + (ba - ca) + y[1/c - 1/b] = 1/ac - 1/ab
x[c -a] + (ba - cb) + y[1/c - 1/a] = 1/cb - 1/ab

<=>

-x(b - c) + a(b - c) + y (b - c)/bc = a(b - c)/a^2bc
-x(a - c) + b(a - c) + y(a - c)/ac = b(a - c)/acb^2

Divisons la première par (b - c) et la 2eme par (a - c). Rappelons que bien entendu b différent de c, a différent de c donc (b - c) et (a - c) sont non nuls. De plus bien entendu, a et b et c sont non nuls.

-x + y/bc = 1/(abc) - a
-x + y/ac = 1/(abc) - b


Substitution !!

x = y/bc - 1/(abc) + a (Equa 1)

donc: (Equa 2)
-y/bc + 1/(abc) - a + y/ac = 1/abc - b

y(-1/bc - 1/ac) = a - b
-y((a - b)/abc) = (a - b)

divisons par (a - b) non nul

y = -abc

Puis x = ...
C'est fini !

[siger]

re

une autre methode ( plus simple!)

la droite AB a pour coefficient directeur -1/(ab)
donc l'equation de sa perpendiculaire passant par C est
y = ab(x-c)+1/c
de meme la perpendiculaire a AC passant par B
y= ac ( x-b)+ 1/b
H l'intersection des deux perpendiculaires a pour coordonnees
xH= -1/(abc)
et yH =......

[tigerfire]

Merci beaucoup pour vos réponses, j'ai réussi à trouver les coordonnees, je trouve H(-1/abc ; -abc).
C'est super, je vous remercie vraiment !

[Lostounet]

Merci beaucoup pour vos réponses, j'ai réussi à trouver les coordonnees, je trouve H(-1/abc ; -abc).
C'est super, je vous remercie vraiment !

Il est vraiment dommage (limite égoïste) d'avoir supprimé l'énoncé de départ, c'est pas du tout l'esprit du forum... je l'ai remis et verrouillé.