Problème de trigonométrie :(

[jadlatif]

Bonjour à tous, (et à toutes);
J'ai besoin d'aide pour un problème de Maths, dont je n'ai pas vraiment le niveau mais qui a attiré ma curiosité . Voici le problème, et j'aimerai le résoudre avec de simples formules trigonométriques, sans avoir à utiliser des complexes ou quoi .

On a Sigma k = 0 à k = n-1 de cos 2kPi / n = ? et Sigma k = 0 à k = n-1 de sin 2kPi / n = ?
Après quelques essais, j'ai conjecturé que ces deux sommes sont égales à 0, mais je ne sais pas trop comment démontrer cela.
J'ai essayé de factoriser cette somme par 1/n, je l'ai tourné dans tous les sens, mais en vain...

Merci de votre aide, Jad

[jadlatif]

Up

[Lostounet]

Salut Jad,
Kifak?

En fait ce serait bien de savoir quel est ton niveau en maths. Connais-tu au moins l'exponentielle complexe? Les suites géométriques?

[jadlatif]

Ni l'une ni l'autre , mais mon prof m'as dit qu'il y'avait moyen de résoudre ce problème avec un peu d'astuce, sans connaissances poussées, ni en exponentielle complexe, ni en suites géométriques, mais je dois t'avouer que je ne vois pas non plus comment ça peut se faire

[Lostounet]

Oui on peut mais il faut bruler des calories:

https://www.google.fr/url?q=http://jean ... 9Tp-cOZtQA

Il te suffit ensuite de choisir le bon "x"

[jadlatif]

Alors merci beaucoup de ta réponse, j'ai finalement trouvé la solution
j'ai trouvé une petite astuce (j'ai du faire une sacré gymnastique pour y arriver ma foi :'( :'(), et j'ai finalement trouvé l'expression de Sigma de k = 0 à k = n-1 de cos 2kPi/n (A) et de Sigma de k = 0 à k = n-1 de sin 2kPi/n (B).

Je suis finalement tombé sur un système d'équation à deux inconnues, je l'ai résolu (La substitution est une bénédiction des mathématiques <3 <3), et devinez sur quoi je tombe?

(Au final on a A cos 2Pi/n -B sin 2Pi / n = A et A sin 2Pi / n + B cos 2Pi/n = B)

Les seules solutions sont A = 0 et B = 0

Au final on s'en rend bien compte avec les vecteurs, parce que le seul vecteur qui est invariant lorsqu'on lui applique une rotation est le vecteur nul.

Voilà voilà

[Lostounet]

(Au final on a A cos 2Pi/n -B sin 2Pi / n = A et A sin 2Pi / n + B cos 2Pi/n = B)

J'avoue ne pas vraiment comprendre comment tu tombes sur ce système et surtout en quoi il permet de calculer la somme en question, pourrais-tu détailler?

Ensuite, tu affirmes que A = B = 0 est la seule possibilité, mais ce n'est pas forcément vrai pour tout n:

A cos 2Pi/n -B sin 2Pi / n = A et A sin 2Pi / n + B cos 2Pi/n = B)

Comment tu justifies le fait que A = B = 0 si l'égalité est vraie pour tout n ?

Au final on s'en rend bien compte avec les vecteurs, parce que le seul vecteur qui est invariant lorsqu'on lui applique une rotation est le vecteur nul.

Euh... c'est pas sûr. Si tu prends un vecteur non nul, et que tu fais une rotation d'un angle de 2*pi, ou de 6pi, tu retombes sur le vecteur lui-même. Tu parles de vecteur invariant quelle que soit la rotation?
C'est quoi le lien exact avec la somme de départ déjà?

Donc soit j'ai mal compris ce que tu voulais dire... soit c'est faux

[Ben314]

Salut,
A mon avis, la façon dont il a procédé (et c'est assez clairement la bonne façon), c'est de dire que et c'est les coordonnées de la somme des vecteurs où les points forment un polygone régulier à n cotés sur le cercle trigonométrique (avec ).
Et clairement, si on fait une rotation d'angle , ça ne fait que permuter les vecteurs donc ça ne change pas la somme et, si , ça prouve que cette somme est le vecteur nul (attention à ne pas oublier le ...)

[Lostounet]

Ah oui effectivement vu comme ça c'est assez joli.

N'empêche que... n'y ayant pas pensé, je ne pouvais pas comprendre sa méthode car il manquait... des mots clés...