Problème de trigonométrie, rectangle dans un rectangle.

[esd]

Bonjour,

Voila j'ai un problème à résoudre, je viens d'y passer la journée et toutes mes solutions sont fausses...

mon problème est le suivant :




les 2 quadrilatères sont des rectangles quelconques.

merci de votre aide.

esd

[Mortelune]

Bonjour, normalement avec la donné de l'angle r on peut en déduire la valeur de tous les autres angles de la figure en fonction de r.

Ensuite les longueur h et l apparaissent chacune 2 fois puisque nous avons un rectangle.
Après on peut essayer de se rappeler des formules de sinus et cosinus avec le rapport de côté de triangle (adjacent ou opposé) sur leur hypoténuse (comme il n'y a que des triangles rectangles) et ainsi exprimer L et H en fonction de sinus et cosinus d'angles que l'on pourrait aussi exprimer en fonction de h et l.

j'ai pas testé mais c'est l'idée qui me vient, on obtiendrait un système à résoudre.

[busard_des_roseaux]

Bs,

calcul d'aire



Thm de Pythagore



sauf erreur de calcul

[esd]

@Mortelune : merci, c'est plus ou moins l'idée que j'ai suivi dans ma derniere solution, la solution que je trouve paraissait plausible. elle est la suivante :




en faisant des vérification, ca marche si l'angle est égal a 0, si il est egal a 90, mais si il est egal a 45 cela fait diviser par 0.... donc ca ne semble pas etre la bonne solution.


@busard_des_roseaux : l'idée n'est pas inintéressante mais le resultalt qu'on obtient ne nous permet pas d'avoir la valeur de l et la valeur de h séparément, or c'est ce que je cherche à avoir....

[busard_des_roseaux]

ça fait un système linéaire en et

puis


et

[esd]

Je vois pas bien ce que tu veux dire...

quel est ont resultat,
h = ...
l = ....

?

[busard_des_roseaux]

C'est un joli énoncé avec des calculs assez longs

voilà comment je le résouds:

i) il y a de la symétrie centrale
les triangles opposés sont isométriques

ii)
faire un calcul d'aire
Aire(grand rectangle) - Aire(petit rectangle)=4 aires de triangles

et


développer et et appliquer thm de Pythagore

iii)
à la fin de tout ça, changer d'inconnues
poser
et

ça fait un système linéaire 2x2 que l'on résoud par des
combinaisons linéaires

tu sais résoudre un système ?

iv)
après
(identité remarquable)
et


on connait somme et produit
donne un carré parfait avec un peu de trigo

et on calcule l et h avec la formule du trinome, somme et produit des racines

vas-y

[busard_des_roseaux]

le dénominateur est

[busard_des_roseaux]

calcul d'aire

[esd]

je t'avoue que j'ai du mal a suivre ton raisonnement....

pour ce qui est de ma solution,

si cos² r - sin² r = cos(2r)

en prenant r = 45deg

ca nous fait cos (90deg) = 0 donc je divise par 0....

[busard_des_roseaux]

Bj,

j'obtiens les mêmes formules

i) quand
je subodore que le numérateur s'annule aussi
mais que la limite du quotient est fini et vaut, ce qui serait logique
, ie, un petit carré dans un grand

avec H=L

faut donc poser et faire tendre h vers 0

ii)
j'ai eu des calculs longs et fastidieux (au moins deux pages)
est-ce la même chose pour les tiens ?

iii)
on peut résoudre le problème sans calculs
en remarquant que le rectangle inscrit a le même
centre de symétrie et qu'il se déduit du grand par rotation
et par homothétie de même centre (le produit commute)

iv)
les formules tendent à prouver que r est l'angle de la rotation
et le coefficient de l'homothétie

[esd]

désolé je répond un peu tard.

Je vois ce que tu veux dire pour le cas ou R=pi/4

le pb c'est que moi j'ai ce probleme dans un cas reel ( pour un outils de gestion d'images integré à un site internet)

et je dois calculer ca pour pouvoir appliquer une rotation a mes images.
et en langages informatique on ne peut pas dire que h tend vers 0.....


oui oui j'ai eu plusieurs pages de calculs aussi....