Application linéaire

[Compassio]

Bonjour
Je suis actuellement sur un exercice concernant les applications linéaires, et je bloque sur une partie de cet exercice, qui est le suivant => http://www.noelshack.com/2016-08-1456670685-2.jpg (exercice 2).
Je bloque sur le petit b.

Déjà un point de cours: Je sais que pour définir une application linéaire f de Rn dans Rm, il faut que je prenne une base de Rn (e1...en) (pas forcément la base canonique), et que je définisse son image par f : (v1 = f(e1), v2= f(e2) ... vn = f(en)).
Une fois l'application définie, pour un vecteur u de Rn de la forme (x1, x2 ... xn), son image par f sera f(u) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn
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Dans mon exercice, j'ai donc au départ les vecteurs v1 et v2 libres. D'après le théorème de la base incomplète, je vais pouvoir en trouver un vecteur w de la forme (x, 0, 0) ou (0, 0,x) avec x non nul, de sorte que (v1,v2,w) forme une base de R³ . C'est bon j'ai ma base, maintenant je fixe les images par f. Pour v1 et v2, elles sont imposées : f(v1) = e1 et f(v2) = e2 (avec e1 = (1, 0, 0) et e2 = (0, 1, 0)) , pour w, je vais pouvoir choisir n'importe quoi, par exemple f(w) = (0, 0, 0).

J'ai maintenant mon application f qui à un triplet (a, b, c) associe => ae1 + be2 + c0
J'ai bien f(v3) = f(2v1 - v2) MAIS PAR CONTRE, et c'est là que je bloque complètement, lorsque je calcule f(v1), qui est supposé être égal à e1, et bien j'ai f(v1) = f(1,1,1) = 1e1 + 1e2 = (1,1,0) !!!

Pourquoi ? Je ne comprends pas ?
Merci à vous

[Ben314]

Tout simplement parce que ça :

Déjà un point de cours: Je sais que pour définir une application linéaire f de Rn dans Rm, il faut que je prenne une base de Rn (e1...en) (pas forcément la base canonique), et que je définisse son image par f : (v1 = f(e1), v2= f(e2) ... vn = f(en)).
Une fois l'application définie, pour un vecteur u de Rn de la forme (x1, x2 ... xn), son image par f sera f(u) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn

c'est évidement faux dans la cas où la base e1,e2,... en n'est pas la base canonique.
Le fait que f soit linéaire et que f(e1)=v1, f(e2)=v2 ... f(en)=vn donne immédiatement (et dans tout les cas) f(x1.e1+x2.e2+...+xn.en)=x1.v1+x2.v2+...+xn.vn
Mais, clairement, le vecteur x1.e1+x2.e2+...+xn.en n'est égal à (x1,x2,...,xn) que (et uniquement que) lorsque e1=(1,0,...,0) ; e2=(0,1,0...,0) ; ... ; en=(0,...,0,1) c'est à dire lorsque la base (e1,e2,...,en) est la base canonique.

[Compassio]

Merci pour ta réponse.

Mais dans mon exercice, on vois bien que f(v1) doit être égal à e1. Alors pourquoi est-ce que finalement, lorsque je calcule f(v1), je ne trouve pas e1...?

[Ben314]

Le fait que, pour "calculer f(v1)" comme tu dit, tu ait utilisé la partie (fausse) que j'ai mis en bleu ne te semble pas suffisant pour expliquer que ton résultat est faux ?

Sinon (bis et répéta...) si f est linéaire et que f(v1) = e1 , f(v2) = e2 et f(w) = (0, 0, 0) alors tu as
f(x1.v1+x2.v2+x3.w)=x1.e1+x2.e2+x3.(0,0,0)=(x1,x2,0) pour tout x1,x2,x3 réels.
MAIS x1.v1+x2.v2+x3.w n'est pas le vecteur (x1,x2,x3).
Par exemple, v1=(1,1,1), est trivialement égal à 1.v1+0.v2+0.w et n'est pas égal à 1.v1+1.v2+1.w.

[Compassio]

Et bien je ne comprends alors pas bien pourquoi c'est faux.

Je m'explique :

J'ai les vecteurs u,v et w formant une base de R³ autre que la base canonique. Alors tout vecteur t de R³ pourra s'exprimer comme combinaison linéaire de u, v et w. t = a.u + b.v + c.w (a, b et c des scalaires).

Je peux alors dire que f(t) = f(a.u + b.v +c.w) = a.f(u) + b.f(v) + c.f(w)

Du coup pourquoi est-ce que ça ne passe pas ?

[Ben314]

Je peux alors dire que f(t) = f(a.u + b.v +c.w) = a.f(u) + b.f(v) + c.f(w)

Ca, c'est correct, sauf que (3em édition...) toi tu fait comme si a.u + b.v +c.w c'était le vecteur (a,b,c) ce qui n'est vrai que si u=(1,0,0) ; v=(0,1,0) et w=(0,0,1).

[Ben314]

En fait, ça donne l'impression que tu n'as pas compris que les coordonnées d'un vecteur, ça dépend de la base dans laquelle on se place.
Par exemple, le vecteur v1=(1,1,1) de ton exercice, il a pour coordonnées (1,1,1) dans la base canonique e1=(1,0,0) ; e2=(0,1,0) ; e3=(0,0,1) car v1=1.e1+1.e2+1.e3.
Mais ce même vecteur v1, il a pour coordonnées (1,0,0) dans la base (v1,v2,w) car v1=1.v1+0.v2+0.w

De même, dans la base f1=(0,1,1) ; f2=(1,0,1) ; f3=(1,1,0) ce même vecteur v1, aurait pour coordonnées (1/2,1/2,1/2) car v1=1/2.f1+1/2.f2+1/2.f3.

[aymanemaysae]

Une autre façon de faire est de supposer que cette application linéaire existe, et que M est sa matrice.

On a donc M v_1 = e_1 , M v_2 = e_2 et M v_3 = e_3 , les calculs sont simplifiés en ne considérant que la première ligne de cette matrice : (a b c) , et le tout donnera un système à trois équations qui conduit directement à une aberration, ce qui permet de conclure que l'application linéaire en question n'existe pas.

Cette démarche me paraît très facile, mais son soubassement mathématique requiert l'aval de M.Ben314.

Si c'est le cas , on aura pour la deuxième question la même démarche, mais ici chaque fois on prend une ligne de la matrice, ce qui donne à chaque fois un système à trois équations qui se simplifie directement et donne une équation qui permet de conclure.

[Compassio]

Super je viens de comprendre ! En effet, je n'avais aucune idée du fait que les coordonnées d'un vecteur dépendent de la base.

Dans la base canonique, (1,1,1) = 1x(1,0,0) + 1x(0,1,0) + 1x(0,0,1)
Dans la base v1, v2, w, (1,1,1) = 1x(1,1,1) + 0x(2,0,-3) + 0w

Mais du coup j'ai des petites lacunes, le vecteur (1,1,1) = (1,0,0) dans ma seconde base ? En fait j'ai du mal à faire la distinction entre mon vecteur (1,1,1) et ses coordonnées (1,0,0). Pour moi, les coordonnées du vecteur (1,1,1) , bah c'est (1,1,1). Tu me dis que ce n'est qu'avec la base canonique...

Tu peux m'expliquer cette différence entre mon vecteur et ses coordonnées ?

[Compassio]

En gros dans R², si j'ai i = (1, 0) et j = (0, 1), alors le vecteur v = (4, 6) aura bien pour coordonnées 4 et 6 car v = 4i +6j.

Maintent si je change de base, i =(1, 0) et j = (0,3), alors v aura pour coordonnées (4, 2) ??
Mais ça veut dire quoi ça ? Ca veut dire que (4,6) = (4,2), non c'est pas logique... Ca veut dire que mon vecteur v dans la première base, il a pour coordonnées s (4,6), et dans la seconde, il a pour coordonnées (4,2), alors (4,6) de la première base est le même vecteur que (4,2) dans la seconde base, mais si on se place dans la même base, (4,2) n'est pas égal à (4,6)

[Ben314]

Ben justement, ce qu'il faut apprendre à ne pas faire, c'est de confondre un vecteur avec ces coordonnées (*).
En général, pour écrire symboliquement qu'un vecteur U a pour coordonnées (x1,x2,x3) dans la base B, on écrit que en ne mettant surtout pas un = et en n'oubliant surtout pas l'indice B pour préciser la base.
A mon avis, pour débuter, il vaut mieux ne pas trop parler de "coordonnées dans la base B" et d'écrire systématiquement U=x1.e1+x2.e2+x3.e3 plutôt que "U a pour coordonnées (x1,x2,x3) dans la base (e1,e2,e3)" (en plus, c'est plutôt plus court à écrire). Ensuite, une fois qu'on a bien compris que c'est ça que ça signifiait les "coordonnées dans la base B" et rien de plus (ni de moins...) on peut se mettre à écrire à la place "U a pour coordonnées (x1,x2,x3) dans la base (e1,e2,e3)".

(*) Le seul cas où on peut allègrement "tout mélanger", c'est dans le cas de la base canonique, vu que, si un vecteur U=(x1,x2,x3) (là, c'est bien un =) alors les coordonnées de U dans la base canonique sont (x1,x2,x3).

[Compassio]

Merci à toi
Du coup les coordonnées d'un vecteur change selon la base. Alors le vecteur (3,4,4) dans la base canonique pourra être le vecteur (12, 2, 2) dans une autre base (au pif).

Et j'aurai le droit de dire que (3,4,4) de la base B1 = (12,2,2) de la base B2. Ce sont bien les mêmes "objets" mais exprimés différement ?

[Ben314]

En gros dans R², si j'ai i = (1, 0) et j = (0, 1), alors le vecteur v = (4, 6) aura bien pour coordonnées 4 et 6 car v = 4i +6j.

Maintent si je change de base, i' =(1, 0) et j' = (0,3), alors v aura pour coordonnées (4, 2) ??
Mais ça veut dire quoi ça ? Ca veut dire que (4,6) = (4,2), non c'est pas logique... Ca veut dire que mon vecteur v dans la première base, il a pour coordonnées s (4,6), et dans la seconde, il a pour coordonnées (4,2), alors (4,6) de la première base est le même vecteur que (4,2) dans la seconde base, mais si on se place dans la même base, (4,2) n'est pas égal à (4,6)

Déjà, si tu donne le même nom (par exemple i) a des trucs différents, c'est effectivement pas gagné.
Ensuite, effectivement, on a ce qui n'a rien de surprenant (à condition bien sûr d'avoir mis des primes)
On a aussi et ce qui reste toujours tout à fait normal.

Pour te donner une analogie, cette histoire de base, c'est exactement la même chose que la notion d'unité en physique : ça n'a absolument rien de gênant d'écrire que L = 1,38 pouce = 3,5 cm alors que, évidement, le réel 1,38 n'est pas égal au réel 3,5 : on n'a simplement pas utilisé la même unité (i.e. la même base) pour mesurer L.

[Compassio]

Super merci à toi
Excuse moi pour toutes ces lacunes, mais je n'ai pas fait de BAC S. Je m'en tire plutôt bien en licence, mais j'ai encore des trous par-ci par-là, lié au fait que je n'ai pas eu tellement de temps pour retaper le programme de S...
Je vais terminer l'exo et vous montrer ce que j'ai fait

[Ben314]

Et j'aurai le droit de dire que (3,4,4) de la base B1 = (12,2,2) de la base B2. Ce sont bien les mêmes "objets" mais exprimés différement ?

Justement, pour éviter d'écrire des conneries, il est fortement conseillé de ne pas mettre un symbole = entre les deux mais un symbole : (deux points) vu que le vecteur U (par exemple) n'est pas égal à (3,4,4), mais il a pour coordonnées (3,4,4) dans une certaine base.
Donc tu peut écrire que et que .
Si tu veut écrire de vraies égalité mathématique alors, en supposant que B1=(e1,e2,e3) et B2=(f1,f2,f3), tu peut écrire que U = 3.e1+4.e2+4.e3 = 12.f1+2.f2+2.f3

[Compassio]

Ca marche. Et donc du coup, dans le petit b de mon exo, ce qui va faire qu'il y a une infinité d'applications linéaires, c'est parce qu'il existe une infinité de vecteurs w pouvant venir complèter v1 et v2 en une base de R³, ou c'est le fait que je vais pouvoir fixer une infinité de valeurs différentes à f(w) ?

En gros ce qui caractérise mon appli, c'est ma base de départ, ou l'image de ma base ?

[Ben314]

Au fond, on pourrait dire que c'est un peu les deux, sauf qu'un des deux arguments est bien plus simple à manipuler que l'autre :
- Si on change la base, on va se retrouver avec une première application f1 qui envoie les trois vecteurs u1,v1,w1 sur e1,e2, 0 (par exemple) et une autre f2 qui envoie les trois vecteurs u1,v1,w2 sur e1,e2, 0 et ça va pas être complètement évident de savoir si f1 et f2 sont différentes ou pas.
- Alors que, si on garde la même base u1,v1,w et qu'on prend f1 qui envoie u1,v1,w sur e1,e2,g1 et une autre f2 qui envoie les mêmes vecteurs u1,v1,w sur e1,e2,g2 alors ça va être complètement évident que f1 et f2 sont différentes lorsque g1 et g2 sont différents.

- Evidement, le pire de tout, ça serait d'avoir f1 qui envoie les trois vecteurs u1,v1,w1 sur e1,e2,g1 et f2 qui envoie les trois vecteurs u1,v1,w2 sur e1,e2,g2 où ça serait bien galère de savoir si f1 et f2 sont différentes ou pas.

[Compassio]

Merci

Voici donc l'exercice (désolé pour l'image, il faut zommer pour bien lire) :

http://www.noelshack.com/2016-08-1456679276-p1.jpg
http://www.noelshack.com/2016-08-1456679280-p2.jpg

[Ben314]

C'est tout bon.
Peut-être faudrait-il (ré)écrire dans la question b) que, si f(v1)=e1 et f(v2)=e2 alors on aura automatiquement f(v3)=2e1-e2 vu que v3=2v1-v2.

[Compassio]

C'est fait. Merci beaucoup pour votre aide