Polynôme symétrique

[Ncdk]

Bonjour,

Je planche sur un bout d'exercice, ça m'a l'air méthodique, mais je fais du grand n'importe quoi ou bien je tourne en rond.

Déterminer tels que :




Voila comment j'ai commencé, j'ai essayé d'arranger ce système pour l'exprimer sous faire des , ,

J'ai déduit que le système s'écrivait :




Donc

Mais après, que faire, je ne sais vraiment pas.

[Maxmau]

Bonjour,

Je planche sur un bout d'exercice, ça m'a l'air méthodique, mais je fais du grand n'importe quoi ou bien je tourne en rond.

Déterminer tels que :




Voila comment j'ai commencé, j'ai essayé d'arranger ce système pour l'exprimer sous faire des , ,

J'ai déduit que le système s'écrivait :




Donc

Mais après, que faire, je ne sais vraiment pas.

Bj
Ecris que x,y,z sont les racines d'un certain polynôme de degré 3

[Ncdk]

D'accord,

Du style ?

Du coup avec le système trouvé précédemment on a ?

EDIT : J'ai manipulé un peu ce polynôme en cherchant des racines évidentes.
J'ai trouvé , Du coup factorise .


Je me suis demandé quand est-ce que , donc quand
Or, dans , on a que .
Donc ou

Donc

Mais maintenant, je vois pas comment avancer.

[Maxmau]

D'accord,

Du style ?

Du coup avec le système trouvé précédemment on a ?

EDIT : J'ai manipulé un peu ce polynôme en cherchant des racines évidentes.
J'ai trouvé , Du coup factorise .


Je me suis demandé quand est-ce que , donc quand
Or, dans , on a que .
Donc ou

Donc

Mais maintenant, je vois pas comment avancer.

Quelles sont les racines ? et c'est terminé

[Ncdk]

-1, 4 et -4.

Mais ce que je comprends pas c'est pourquoi ça fonctionne, je sais pas si tu peux m'expliquer.

Je vois bien que si on fait le distinguo entre nos P de départ et le P d'arrivée, c'est évident de voir les racines.

D'ailleurs il y a pas d'ordre ? C'est-à-dire que l'on prenne x=1 ou 4 ou -4 c'est pareil ? De même si on prends y=1 ou -4 ou 4 et z=1 ou -4 ou 4. en faisant attention que x,y,z soit différent.

[Maxmau]

-1, 4 et -4.

Mais ce que je comprends pas c'est pourquoi ça fonctionne, je sais pas si tu peux m'expliquer.

Je vois bien que si on fait le distinguo entre nos P de départ et le P d'arrivée, c'est évident de voir les racines.

D'ailleurs il y a pas d'ordre ? C'est-à-dire que l'on prenne x=1 ou 4 ou -4 c'est pareil ? De même si on prends y=1 ou -4 ou 4 et z=1 ou -4 ou 4. en faisant attention que x,y,z soit différent.

Tu as 3 nombres: x,y,z et les fonctions symétriques associées S1 = x+y+z, S2 = xy+yz+zx , S3 = xyz
x,y,z sont les racines du polynôme X^3 - S1X² + S2X - S3
dire que (x,y,z) est solution de ton système revient à dire que S1=S2=S3=1 (d'après tes calculs)
c'est à dire que x,y,z sont les racines du polynôme X^3 - X² + X -1
Naturellement le système étant symétrique si (x,y,z) est solution tout triplet permuté donne encore une solution.

[Ncdk]

Tu as 3 nombres: x,y,z et les fonctions symétriques associées S1 = x+y+z, S2 = xy+yz+zx , S3 = xyz
x,y,z sont les racines du polynôme X^3 - S1X² + S2X - S3
dire que (x,y,z) est solution de ton système revient à dire que S1=S2=S3=1 (d'après tes calculs)
c'est à dire que x,y,z sont les racines du polynôme X^3 - X² + X -1
Naturellement le système étant symétrique si (x,y,z) est solution tout triplet permuté donne encore une solution.

Ah oui, le système étant symétrique, merci, c'est pas comme si c'était le titre de mon topic :ptdr:

Merci bien de ton aide