Équation aux différences

[axou88]

Bonjour, j'ai une équation aux différences linéaire à coefficients constants, d'ordre 2 et non homogène à résoudre. Je trouve la solution de l'équation homogène étant complexe (2 zéros simples au polynôme caractéristique). La partie non homogène de l'équation est 2^(-n).
Après je ne vois pas vraiment comment exprimer l'équation pour trouver une solution particulière. Dois-je garder les zéros du polynôme caractéristique sous forme réelle ou complexe?

Merci pour vos réponses!

[Robot]

Allez, montre-nous l'équation.

[axou88]

La voilà

2*a(n+1) + a(n) + (1/2)*a(n-1) = 2^(-n) avec a(0)=a(1)=1

[Robot]

Bah, on peut chercher directement une solution particulière du même type que le second membre, c.-à-d. de la forme .

[axou88]

Est-ce que tu pourrais expliquer ta méthode? Je ne vois pas du tout ce que tu veux dire.. Le prof a accéléré sur ce chapitre et nous n'en avons pas vu beaucoup sur les méthodes de résolution.

[Robot]

Je veux dire de chercher une solution particulière de la forme .
Il me semblait que c'était clair.
C'est la même histoire que pour les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants. Pour un second membre où n'est pas racine de l'équation caractéristique, on cherche (et on trouve) une solution particulière de la forme .

[chan79]

salut

une méthode directe:



En remplaçant n par n-1:



En multipliant la première ligne par 2:



Par soustraction en les deux dernières lignes:



on peut écrire:







(en remplaçant par 1 dans la première égalité)

donc, pour tout entier